Трикутна матриця

Трику́тна ма́триця — матриця в якій всі елементи нижче або вище за головну діагональ рівні нулю.

Верхньотрикутна матриця — квадратна матриця, в якій всі елементи нижче за головну діагональ дорівнюють нулю.

Нижньотрикутна матриця — квадратна матриця, в якій всі елементи вище за головну діагональ дорівнюють нулю.

Унітрикутна матриця (верхня або нижня) — трикутна матриця, в якій всі елементи на головній діагоналі дорівнюють одиниці.

Приклади

$\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ 0 & a_{22} & a_{23} \\ 0 & 0 & a_{33} \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} 3 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 5 & 5 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 7 \\ 0 & 0 & 0 & 9 \end{pmatrix}$

Властивості

Теорема (про приведення матриць до трикутного вигляду). Будь-яку ненульову матрицю $\ a_{n\times n}$ шляхом елементарних перетворень над рядками і перестановкою стовпців можна привести до трикутного вигляду.

Трикутні матриці використовуються насамперед при розв'язку лінійних систем рівнянь, коли матриця системи (в процесі прямого ходу) зводиться до трикутного вигляду. Вирішення систем лінійних рівнянь з трикутною матрицею (зворотний хід) не представляє складнощів. Основні властивості:

• Визначник трикутної матриці дорівнює добутку її діагональних елементів.
• Визначник унітрикутної матриці дорівнює одиниці.
• Власні числа трикутної матриці — це елементи головної діагоналі.
• Множина невироджених верхньотрикутних матриць порядку n по множенню з елементами з поля k утворює групу, яка позначається ut(n, k) або ut_n (k).
• Множина невироджених нижньотрикутних матриць порядку n по множенню з елементами з поля k утворює групу, яка позначається lt(n, k) або lt_n (k).
• Множина верхніх унітрикутних матриць з елементами з поля k утворює підгрупу ut_n (k) по множенню, яка позначається sut(n, k) або sut_n (k). Аналогічна підгрупа нижніх унітрикутних матриць позначається slt(n, k) або slt_n (k).
• Множина всіх верхньотрикутних матриць з елементами з кільця до утворює підалгебру алгебри квадратних матриць. Аналогічне твердження справедливе для нижньотрикутних матриць.
• Група ut_n вирішувана, а її унітрикутна підгрупа sut_n нільпотентна.

Див. також

• Система лінійних рівнянь алгебри
• Елементарні перетворення матриці

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. (1967). Теория матриц (вид. друге). Москва: Наука. с. 576.