Трикутна матриця

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Трику́тна ма́триця — матриця в якій всі елементи нижче або вище за головну діагональ рівні нулю.

Верхньотрикутна матриця — квадратна матриця, в якій всі елементи нижче за головну діагональ дорівнюють нулю.
Нижньотрикутна матриця — квадратна матриця, в якій всі елементи вище за головну діагональ дорівнюють нулю.
Унітрикутна матриця (верхня або нижня) — трикутна матриця, в якій всі елементи на головній діагоналі дорівнюють одиниці.

Приклади[ред.ред. код]

 \begin{pmatrix} 
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
0 & a_{22} & a_{23} \\
0 & 0 & a_{33}
\end{pmatrix}  \begin{pmatrix} 
3 & 2 & 3 & 4 \\ 
0 & 5 & 5 & 6 \\
0 & 0 & 0 & 7 \\
0 & 0 & 0 & 9
\end{pmatrix}


Властивості[ред.ред. код]

Теорема (про приведення матриць до трикутного вигляду).
Будь-яку ненульову матрицю \ a_{n\times n} шляхом елементарних перетворень над рядками і перестановкою стовпців можна привести до трикутного вигляду.

Трикутні матриці використовуються насамперед при розв'язку лінійних систем рівнянь, коли матриця системи (в процесі прямого ходу) зводиться до трикутного вигляду. Вирішення систем лінійних рівнянь з трикутною матрицею (зворотний хід) не представляє складнощів. Основні властивості:

  • Визначник трикутної матриці дорівнює добутку її діагональних елементів.
  • Визначник унітрикутної матриці дорівнює одиниці.
  • Власні числа трикутної матриці — це елементи головної діагоналі.[1]
  • Множина невироджених верхньотрикутних матриць порядку n по множенню з елементами з поля k утворює групу, яка позначається ut(n, k) або utn (k).
  • Множина невироджених нижньотрикутних матриць порядку n по множенню з елементами з поля k утворює групу, яка позначається lt(n, k) або ltn (k).
  • Множина верхніх унітрикутних матриць з елементами з поля k утворює підгрупу utn (k) по множенню, яка позначається sut(n, k) або sutn (k). Аналогічна підгрупа нижніх унітрикутних матриць позначається slt(n, k) або sltn (k).
  • Множина всіх верхньотрикутних матриць з елементами з кільця до утворює підалгебру алгебри квадратних матриць. Аналогічне твердження справедливе для нижньотрикутних матриць.
  • Група utn вирішувана, а її унітрикутна підгрупа sutn нільпотентна.

Пряме та зворотне підставляння[ред.ред. код]

Матричне рівняння у вигляді \mathbf{L}\mathbf{x} = \mathbf{b} або \mathbf{U}\mathbf{x} = \mathbf{b} дуже легко розв'язати за допомогою ітеративного процесу відомого як пряме підставляння для нижньотрикутних матриць і, аналогічно, зворотне підставляння для верхньотрикутних мариць.

Пряме підставляння[ред.ред. код]

Матричне рівняння Lx = b можна записати як систему лінійних рівнянь


\begin{matrix}
l_{1,1} x_1 &   &             &            &             & = &    b_1 \\
l_{2,1} x_1 & + & l_{2,2} x_2 &            &             & = &    b_2 \\
     \vdots &   &      \vdots &     \ddots &             &   & \vdots \\
l_{m,1} x_1 & + & l_{m,2} x_2 & + \dotsb + & l_{m,m} x_m & = &   b_m  \\
\end{matrix}

Зауважимо те, що перше рівняння (l_{1,1} x_1 = b_1) містить лише x_1, отже його можна розв'язати для x_1. Друге рівняння містить лише x_1 і x_2, отже його можна розв'язати підставивши вже отримане значення для x_1. Продовжуючи таким чином, k-те рівняння містить лише x_1,\dots,x_k, і його можна розв'язати щодо x_k, використовуючи попередньо отримані значення x_1,\dots,x_{k-1}.

У результаті маємо таку формулу:

 x_1 = \frac{b_1}{l_{1,1}},
 x_2 = \frac{b_2 - l_{2,1} x_1}{l_{2,2}},
 \vdots
 x_m = \frac{b_m - \sum_{i=1}^{m-1} l_{m,i}x_i}{l_{m,m}}.

Матричне рівняння для верхньотрикутної матриці U можна розв'язати аналогічно, лише в зворотньому порядку.

Див. також[ред.ред. код]

Примітки[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]