Тропічна геометрія

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Тропічна пряма на площині

Тропічна геометрія — область в математиці, що з'явилася в 2000-ні, початково виникла в інформатиці, і пов'язана з алгебричною та симплектичною геометрією. Досліджувані в ній об'єкти є границею образів амеб звичайних алгебричних многовидів при виродженні останніх.[1]

Назва «тропічна» віддає честь бразильській школі[1] — піонерським роботам бразильського математика Імре Сімона[2][3][4], який досліджував тропічне напівкільце у зв'язку з питаннями інформатики та теорії оптимізації[5].

Основні поняття[ред.ред. код]


x \oplus y = \max(x,y), \quad x\odot y = x+y.
  • Тропічний многочлен ступеня d на площині — кусково-афінна функція виду

f(x,y) = \bigoplus_{i+j\le d} \,a_{i,j} \odot x^{\odot i} \odot y^{\odot j} = \max_{i+j\le d} (ix + jy + a_{i,j}).

Аналогічно, тропічний многочлен в загальному випадку — кусково-афінна функція виду


f(x_1,\dots,x_n) = \bigoplus_{|J|\le d} \,a_{J} \odot x^{\odot J} = \max_{|J|\le d} \, (a_{J}+ \sum_i J_i x_i).
  • Тропічна крива на площині, що відповідає даному тропічному многочлену f ступеня d — граф на площині, вершини і ребра (скінченні і нескінченні) якого утворюють множину точок негладкості функції f. Ребра цього графа вважаються оснащеними кратностями: ребро, що розділяє області лінійності, які відповідають набору ступенів (i,j) і (i',j'), оснащується кратністю, рівною найбільшому спільному дільнику різниць i-i' і j-j'.
  • Зокрема, тропічна пряма є об'єднанням трьох променів, що виходять з деякої точки (x_0,y_0) і спрямовані вниз, вліво і вправо-вгору під 45 градусів. Тропічні прямі мають властивості, аналогічні властивостям звичайних прямих: через будь-які дві точки загального положення проходить рівно одна тропічна пряма, і дві тропічні прямі загального положення перетинаються в єдиній точці.

Примітки[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]