Тропічна геометрія

Тропічна пряма на площині

Тропічна геометрія — область в математиці, що з'явилася в 2000-ні, початково виникла в інформатиці, і пов'язана з алгебричною та симплектичною геометрією. Досліджувані в ній об'єкти є границею образів амеб звичайних алгебричних многовидів при виродженні останніх.

Назва «тропічна» віддає честь бразильській школі — піонерським роботам бразильського математика Імре Сімона, який досліджував тропічне напівкільце у зв'язку з питаннями інформатики та теорії оптимізації.

Основні поняття

• Тропічне напівкільце (або тропічне напівполе) — множина дійсних чисел $\R$, оснащене операціями тропічного додавання $\oplus$ і тропічного множення $\odot$

$x \oplus y = \max(x,y), \quad x\odot y = x+y.$

• Тропічний многочлен ступеня $d$ на площині — кусково-афінна функція виду

$f(x,y) = \bigoplus_{i+j\le d} \,a_{i,j} \odot x^{\odot i} \odot y^{\odot j} = \max_{i+j\le d} (ix + jy + a_{i,j}).$

Аналогічно, тропічний многочлен в загальному випадку — кусково-афінна функція виду

$f(x_1,\dots,x_n) = \bigoplus_{|J|\le d} \,a_{J} \odot x^{\odot J} = \max_{|J|\le d} \, (a_{J}+ \sum_i J_i x_i).$

• Тропічна крива на площині, що відповідає даному тропічному многочлену $f$ ступеня $d$ — граф на площині, вершини і ребра (скінченні і нескінченні) якого утворюють множину точок негладкості функції $f$. Ребра цього графа вважаються оснащеними кратностями: ребро, що розділяє області лінійності, які відповідають набору ступенів $(i,j)$ і $(i',j')$, оснащується кратністю, рівною найбільшому спільному дільнику різниць $i-i'$ і $j-j'$.
• Зокрема, тропічна пряма є об'єднанням трьох променів, що виходять з деякої точки $(x_0,y_0)$ і спрямовані вниз, вліво і вправо-вгору під 45 градусів. Тропічні прямі мають властивості, аналогічні властивостям звичайних прямих: через будь-які дві точки загального положення проходить рівно одна тропічна пряма, і дві тропічні прямі загального положення перетинаються в єдиній точці.

Література

• Itenberg I., Mikhalkin G., Shustin E. Tropical algebraic geometry. — Basel: Springer, 2009. — viii+104 с. — (Oberwolfach Seminars).
• М. Э. Казарян, Тропическая геометрия, записки лекций.