Тіла обертання

Утворення поверхні обертання

Тіла́ оберта́ння — об'ємні тіла, що виникають при обертанні плоскої фігури, обмеженої кривою, навколо осі, що лежить в тій же площині.

Приклади тіл обертання

• Куля — тривимірна фігура, утворена півколом, що обертається навколо діаметра розрізу
• Циліндр — тривимірна фігура, утворена прямокутником, що обертається навколо однієї із сторін

За площу бічної поверхні циліндра приймається площа її розгортки:

S_біч = 2πrh.

• Конус — тривимірна фігура, утворена прямокутним трикутником, що обертається навколо одного з катетів

За площу бічної поверхні конуса приймається площа її розгортки:

S_біч = πrl.

Площа повної поверхні конуса:

S_біч = πr(l+ r).

• Тор — тривимірна фігура, утворена колом, що обертається навколо прямої, яка не перетинає його

При обертанні контурів фігур виникає поверхня обертання (наприклад, сфера, утворена колом), в той час як при обертанні заповнених контурів виникають тіла (як куля, утворена кругом).

Ілюстрація до першої теореми Гульдіна-Паппа

Ілюстрація до другої теореми Гульдіна-Паппа

Об'єм і площа поверхні тіл обертання

Об'єм і площа поверхні тіл обертання можна дізнатися за допомогою теорем Гульдіна-Паппа.

• Перша теорема Гульдіна-Паппа стверджує:

Площа поверхні, утвореної при обертанні лінії, що лежить в площині цілком по одну сторону від осі обертання, дорівнює добутку довжини лінії s на довжину кола l = 2πrs, яке пробігає центр мас (т.С) цієї лінії.

Наприклад, для тора радіусом $R$ i з радіусом кола $r$, довжина лінії $s = 2 \pi r$, довжина кола для центру мас $l = 2 \pi R$, звідки площа поверхні тора $s \cdot l = 4 \pi^2 r R$.

• Друга теорема Гульдіна-Паппа стверджує:

Об'єм тіла, утвореного при обертанні фігури, що лежить в площині цілком по одну сторону від осі обертання, дорівнює добутку площі А фігури на довжину кола l = 2πRs, яке пробігає центр мас (т.CA) цієї фігури.

Наприклад, для тора радіусом $R$ i з радіусом кола $r$, площа кола $A = \pi r^2$, довжина кола обертання центру мас $l = 2 \pi R$, звідси об'єм тора $A \cdot l = 2 \pi^2 r^2 R$

Джерела

• Практикум з інтегрального числення: Частина ІІ. Визначений інтеграл / Укл.: Р. М. Дідковський, В. В. Сисоєнко, В. О. Щерба. — Черкаси: ЧДТУ, 2005. – 66 с. ISBN 966-7533-76-X ISBN 966-7533-99-9
• Дутчак Б. І., Михальчук Р. І., Матвіїв Ю. Я. Електронний навчальний посібник з дисципліни: «Вища математика». Розділ "Визначений інтеграл» (курс лекцій). — Луцьк: ЛНТУ, 2008. (електронний навчальний ресурс)