Угнута функція

Угнута функція або увігнута функція — протилежність до опуклої функції. До угнутих функцій належать неперервні функції з від'ємною другою похідною.

Довільна неперервна фукнція не обов'язково або опукла, або угнута, але вона може бути опуклою або угнутою на певних інтервалах, розділених точками перегину.

Означення

Ілюстрація угнутості функції

Дійсна функція f визначена на інтервалі (або на будь-якій опуклій множині C деякого векторного простору) називається угнутою, якщо для будь-яких двох точок x і y в її області визначення C і будь-якого t в [0,1], маємо

$f(tx+(1-t)y)\geq t f(x)+(1-t)f(y).$

Функція називається строго угнутою, якщо

$f(tx + (1-t)y) > t f(x) + (1-t)f(y)\,$

для будь-якого t в (0,1) і x ≠ y.

Для функції f:R→R, це означення просто стверджує, що для кожного z між x і y, точки (z, f(z)) на графіку f є вище прямої, що з'єднує точки (x, f(x)) і (y, f(y)).

Функція f(x) є квазіугнутою, якщо множини верхнього контура функції $S(a)=\{x: f(x)\geq a\}$ є опуклими множинами.

Приклади

• Функції $f(x)=-x^2$ і $f(x)=\sqrt{x}$ є угнутими, оскільки їхні другі похідні завжди від'ємні.
• Будь-яка лінійна функція $f(x)=ax+b$ одночасно й угнута, й опукла.
• Функція $f(x)=\sin(x)$ є угнутою на відрізку $[0, \pi]\,$.
• Функція $\log |B|$, де $|B|$ є визначником додатноозначеної матриці B, є угнутою.

Див. також

• Опукла функція
• Нерівність Єнсена
• Точка перегину

Джерела

• Crouzeix, J.-P. (2008). «Quasi-concavity». У Durlauf, Steven N.; Blume, Lawrence E. The New Palgrave Dictionary of Economics (вид. Second). Palgrave Macmillan. doi:10.1057/9780230226203.1375. 
• Rao, Singiresu S. (2009). Engineering Optimization: Theory and Practice. John Wiley and Sons. с. 779. ISBN 0470183527.