Угнута функція

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Угнута функція або увігнута функція — протилежність до опуклої функції. До угнутих функцій належать неперервні функції з від'ємною другою похідною.

Довільна неперервна фукнція не обов'язково або опукла, або угнута, але вона може бути опуклою або угнутою на певних інтервалах, розділених точками перегину.

Означення[ред.ред. код]

Ілюстрація угнутості функції

Дійсна функція f визначена на інтервалі (або на будь-якій опуклій множині C деякого векторного простору) називається угнутою, якщо для будь-яких двох точок x і y в її області визначення C і будь-якого t в [0,1], маємо

f(tx+(1-t)y)\geq t f(x)+(1-t)f(y).

Функція називається строго угнутою, якщо

f(tx + (1-t)y) > t f(x) + (1-t)f(y)\,

для будь-якого t в (0,1) і xy.

Для функції f:RR, це означення просто стверджує, що для кожного z між x і y, точки (z, f(z)) на графіку f є вище прямої, що з'єднує точки (x, f(x)) і (y, f(y)).

Функція f(x) є квазіугнутою, якщо множини верхнього контура функції S(a)=\{x: f(x)\geq a\} є опуклими множинами.[1]

Властивості[ред.ред. код]

Приклади[ред.ред. код]

  • Функції f(x)=-x^2 і f(x)=\sqrt{x} є угнутими, оскільки їхні другі похідні завжди від'ємні.
  • Будь-яка лінійна функція f(x)=ax+b одночасно й угнута, й опукла.
  • Функція f(x)=\sin(x) є угнутою на відрізку [0, \pi]\,.
  • Функція \log |B|, де |B| є визначником додатноозначеної матриці B, є угнутою.[2]

Див. також[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]

  1. Varian, Hal A. (1992) Microeconomic Analysis. Third Edition. W.W. Norton and Company. p. 496
  2. Thomas M. Cover and J. A. Thomas Determinant inequalities via information theory // SIAM journal on matrix analysis and applications, 9 (1988) С. 384–392.
  • Crouzeix, J.-P. (2008). «Quasi-concavity». У Durlauf, Steven N.; Blume, Lawrence E. The New Palgrave Dictionary of Economics (вид. Second). Palgrave Macmillan. doi:10.1057/9780230226203.1375. 
  • Rao, Singiresu S. (2009). Engineering Optimization: Theory and Practice. John Wiley and Sons. с. 779. ISBN 0470183527.