Узагальнений імпульс

Узагальнений імпульс - фізична змінна, яка визначається для кожної узагальненої координати механічної системи, й є водночас мірою швидкості зміни цієї координати та її інерційності.

Позначається зазвичай латинською літерою p.

Математичне визначення

Для механічної системи, що описується функцією Лагранжа ${\mathcal {L}}(q_{i},{\dot {q}}_{i},t)$, де $q_{i}$ узагальнені координати, а ${\dot {q}}_{i}$ - узагальнені швидкості, узагальнені імпульси $p_{i}$ для кожної з узагальнених координат визначаються співвідношенням:

$p_{i}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}$.

Приклади

Нерелятивістська матеріальна точка

Наприклад, для матеріальної точки з масою m, що не взаємодіє з іншими тілами, функція Лагранжа дорівнює кінетичній енергії і має вигляд

${\mathcal {L}}={\frac {m\mathbf {v} ^{2}}{2}}={\frac {m{\dot {\mathbf {r} }}^{2}}{2}}$.

Узагальнений імпульс

$\mathbf {p} ={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\mathbf {r} }}}}=m{\dot {\mathbf {r} }}=m\mathbf {v}$,

тобто збігається із звичайним імпульсом. Це означення залишається справедливим і для випадку взаємодії, яка не залежить від швидкості матеріальної точки.

Обертання

При обертанні абсолютно твердого тіла навколо осі, узагальненою координатою є кут повороту $\varphi$, узагальненою швидкістю - кутова швидкість $\omega$, а кінетична енергія дорівнює

$T={\frac {I\omega ^{2}}{2}}$,

де I - момент інерції.

Узагальнений імпульс в такому випадку дорівнює

$p=I\omega \,$

Див. також

• Механіка Гамільтона
• Фазовий простір

Джерела

• Федорченко А.М. (1975). Теоретична механіка. Київ: Вища школа., 516 с.