Ультрафільтр (математика)

Ультрафільтр (максимальний фільтр) — фільтр частково впорядкованої множини, для якого не існує фільтра в який він би включався. Поняття фільтра виникло в топології.

Властивості

• Головний фільтр завжди є ультрафільтром.
• Ультрафільтр на скінченній множині є головним фільтром.

Теореми про прості ідеали

Твердження, що довільний фільтр міститься в деякому ультрафільтрі не може бути доведене без аксіоми вибору. Це твердження також відоме під назвою — лема про ультрафільтр.

Важливим наслідком теореми є існування не головних ультрафільтрів в нескінченних множинах.

Властивості

• Якщо ультрафільтр на множині є головним, то перетин всіх елементів ультрафільтра дорівнює головному (породжуючому) елементу ультрафільтра.
• Якщо ультрафільтр на множині є не головним, то перетив всіх елементів ультрафільтра є порожньою множиною.

Джерела

• Биркгоф Г. (1984). Теория решёток. Москва: Наука. с. 568.