Умови Коші — Рімана

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Умови Коші - Рімана, або умови Д’Аламбера - Ейлера — умови на дійсну u = u(x,y) та уявну v = v(x,y) частини функції комплексної змінної w=f(z)=u+iv, z=x+iy, що забезпечують нескінченну безперервну диференційовність f(z) як функції комплексної змінної.

Теорема[ред.ред. код]

Для того, щоб функція w = f(z), визначена в деякій області D комплексної площини, була диференційовна в точці z0 = x0 + iy0 як функція комплексної змінної z, необхідно і достатньо, щоб її дійсна і уявна частини u і v були диференційовними в точці (x0,y0) як функції дійсних змінних x і у і щоб, крім того, в цій точці виконувалися умови Коші - Рімана:

В декартових координатах[ред.ред. код]

\frac{\partial u}{\partial x}=  \frac{\partial v}{\partial y};
\frac{\partial u}{\partial y}= -\frac{\partial v}{\partial x};

В полярних координатах[ред.ред. код]

\frac{\partial u}{\partial r} = \frac{1}{r}\frac{\partial v}{\partial \varphi};
\frac{\partial u}{\partial \varphi} = -r \frac{\partial v}{\partial r}.

Якщо умови Коші - Рімана виконані, то похідна f'(z) може бути подана в будь-якій з наступних форм:

f'(z) = \frac{\partial u}{\partial x} + i \frac{\partial v}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} - i \frac{\partial u}{\partial y}.

Наслідки[ред.ред. код]

Історія[ред.ред. код]

Ці умови вперше з'явилися в роботі д'Аламбера (1752 р.). У роботі Ейлера у 1777 р., умови одержали вперше характер загальної ознаки аналітичної функцій. Коші користувався цими співвідношеннями для побудови теорії функцій, починаючи з мемуару, представленого Паризькій академії наук в 1814 р. Знаменита дисертація Рімана про основи теорії функцій відноситься до 1851 р.