Умови Коші — Рімана

Умови Коші—Рімана, або умови Д'Аламбера—Ейлера — умови на дійсну $u=u(x,y)$ та уявну $v=v(x,y)$ частини функції комплексної змінної $w=f(z)=u+{\rm {i}}v$ , $z=x+{\rm {i}}y$ , що забезпечують нескінченну безперервну диференційовність $f(z)$ як функції комплексної змінної.

Візуальне зображення вектора $X$ в області, що множиться на комплексне число $z$ , а потім відображається за допомогою функції $f$ , у порівняні, коли вектор спочатку відображається за допомогою функції $f$ , а потім множиться на комплексне число $z$ . Якщо в обох випадках отримуємо одну і ту ж кінцеву точку для всіх $X$ і $z$ , то функція $f$ задовольняє умови Коші—Рімана.

Умови Коші—Рімана для пари дійснозначних функцій двох дійсних змінних $u(x,y)$ і $v(x,y)$ є двома рівняннями:

${\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}},$

(1a)

${\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}.$

(1b)

Як правило $u$ та $v$ вважаються відповідно дійсною та уявною частинами комплекснозначної функції однієї комплексної змінної $z=x+{\rm {i}}y$ ,

f(x+{\rm {i}}y)=u(x,y)+v(x,y).

Нехай функції $u$ і $v$ є дійснозначними диференційованими в точці відкритої підмножини комплексної площини $\mathbb {C}$ , які можна розглядати як функції з ${\mathbb {R} ^{2}}$ в ${\mathbb {R} }$ . З цього випливає, що частинні похідні від функцій $u$ і $v$ існують (хоча вони не обов'язково повинні бути неперервними), а тому можемо лінійно апроксимувати малі варіації функції $f$ . Тоді $f=u+{\rm {i}}v$ є комплексно-диференційованою у цій точці тоді й лише тоді, коли частинні похідні функцій $u$ та $v$ задовольняють рівняння Коші—Рімана (1a) та (1b) у цій точці. Тут існування частинних похідних, які задовольняють рівнянням Коші—Рімана, не забезпечує комплексної диференційовності: функції $u$ і $v$ повинні бути дійсними диференційованими, що є більш сильною умовою, ніж існування частинних похідних, але загалом слабшою за неперервну диференційованість.
Голоморфність — це властивість комплексної функції бути диференційованою в кожній точці відкритої та зв'язаної підмножини комплексної площини $\mathbb {C}$ (це називається областю^[en] в $\mathbb {C}$ ). Отже, можна стверджувати, що комплексна функція $f$ , дійсні та уявні частини якої відповідно $u$ і $v$ є дійсними диференційованими функціями, є голоморфною тоді й лише тоді, коли рівняння (1a) і (1b) задовольняються на всій заданій областю^[en]. Голоморфні функції є аналітичними^[en] і навпаки. Це означає, що в комплексному аналізі, функція, яка комплексно диференційована на всій області (голоморфна), співпадає з аналітичною функцією. Це не вірно для дійсних диференційованих функцій.

Теорема[ред. | ред. код]

Для того, щоб функція $w=f(z)$ , визначена в деякій області $D$ комплексної площини, була диференційовна в точці $z_{0}=x_{0}+{\rm {i}}y_{0}$ як функція комплексної змінної $z$ , необхідно і достатньо, щоб її дійсна і уявна частини $u$ і $v$ були диференційовними в точці $(x_{0},y_{0})$ як функції дійсних змінних $x$ і $y$ і щоб, крім того, в цій точці виконувалися умови Коші—Рімана:

В декартових координатах[ред. | ред. код]

{\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}

;

{\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}

.

В полярних координатах[ред. | ред. код]

{\frac {\partial u}{\partial r}}={\frac {1}{r}}{\frac {\partial v}{\partial \varphi }}

;

{\frac {\partial u}{\partial \varphi }}=-r{\frac {\partial v}{\partial r}}.

Якщо умови Коші—Рімана виконані, то похідна $f'(z)$ може бути подана в будь-якій з наступних форм:

f'(z)={\frac {\partial u}{\partial x}}+{\rm {i}}{\frac {\partial v}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}-{\rm {i}}{\frac {\partial u}{\partial y}}.

Наслідки[ред. | ред. код]

Виконання умов Коші—Рімана, на відкритій підмножині $\mathbb {C}$ є необхідними умовами аналітичності функції.
Якщо, крім того, часткові похідні неперервні, то функція є аналітичною.

Простий приклад[ред. | ред. код]

Нехай $z=x+{\rm {i}}y$ . Комплекснозначна функція $f(z)=z^{2}$ є диференційованою в будь-якій точці $z$ комплексної площини,

f(z)=(x+{\rm {i}}y)^{2}=x^{2}-y^{2}+2{\rm {i}}xy.

Дійсна частина $u(x,y)$ і уявна частина $v(x,y)$ мають вигляд

u(x,y)=x^{2}-y^{2}

,

v(x,y)=2xy

.

А їх частинні похідні:

u_{x}=2x,\quad u_{y}=-2y,\quad v_{x}=2y,\quad v_{y}=2x.

Ці частинні похідні співвідносяться таким чином:

{\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}

,

{\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}

.

Дійсно функції $u(x,y)$ та $v(x,y)$ задовольняють умови Коші—Рімана: $u_{x}=v_{y}$ і $u_{y}=-v_{x}$ .

Історія[ред. | ред. код]

У комплексному аналізі умови Коші—Рімана, які названі на честь Оґюстена Коші та Бернгарда Рімана, складаються із системи^[en] двох диференціальних рівнянь з частинними похідними, які разом із певними критеріями неперервності та диференційовності утворюють необхідну та достатню умову голоморфності (комплексно диференційованості) комплекснозначної функції. Коші користувався цими співвідношеннями для побудови теорії функцій, починаючи з мемуару, представленого Паризькій академії наук в 1814 р. Ця система рівнянь вперше з'явилася в роботі Жана Лерона д'Аламбера.^[1]. Пізніше Леонард Ейлер пов'язав цю систему з аналітичними функціями.^[2] Потім Коші ^[3] використав ці рівняння для побудови своєї теорії функцій. У 1851 році з'явилася дисертація Рімана з теорії функцій.^[4]

Інтерпретація та переформулювання[ред. | ред. код]

Умови Коші—Рімана є одним із способів поглянути на умову диференційності функції в сенсі комплексного аналізу: іншими словами, вони включають в себе поняття функції комплексної змінної за допомогою звичайного диференціального числення. У теорії існує декілька інших основних підходів до цього поняття, і часто необхідно інтерпретувати умови іншою мовою.

Конформні відображення[ред. | ред. код]

Більше інформації: Конформне відображення
По-перше, умови Коші—Рімана можна записати у комплексній формі

${\rm {i}}{\frac {\partial f}{\partial x}}={\frac {\partial f}{\partial y}}.$

(2)

У цій формі рівняння структурно відповідають умові, що матриця Якобі має вигляд

\left({\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}}\right),

де $a=\partial u/\partial x=\partial v/\partial y$ та $b=\partial v/\partial x=-\partial u/\partial y$ . Матриця такого вигляду є матричним представленням комплексного числа. Геометрично така матриця завжди є композицією обертання і масштабування і, зокрема, зберігає кути. Якобіан функції $f(z)$ бере нескінченно малі відрізки на перетині двох кривих у точці $z$ і повертає їх до відповідних відрізків у точці $f(z)$ . Отже, функція, що задовольняє умови Коші—Рімана, з ненульовою похідною, зберігає кут між кривими на площині. Тобто умови Коші—Рімана є умовою конформності функції.
Більше того, оскільки композиція конформного перетворення з іншим конформним перетворенням також є конформним перетворенням, то конформне відображення переводить розв'язки рівнянь Коші—Рімана у розв'язки цих же рівнянь. Таким чином, рівняння Коші—Рімана є конформно інваріантними.

Комплексна диференційованість[ред. | ред. код]

Нехай

f(z)=u(z)+{\rm {i}}\cdot v(z)

є функцією комплексної змінної $z=x+{\rm {i}}y$ . Тоді комплексна похідна від функції $f$ у точці $z_{0}$ визначається як

\lim _{\underset {h\in \mathbb {C} }{h\to 0}}{\frac {f(z_{0}+h)-f(z_{0})}{h}}=f'(z_{0})

за умови існування цієї границі.
Якщо ця границя існує, то її можна обчислити, взявши границю при $h\to 0$ вздовж дійсної або уявної осі; в обох випадках це повинно дати однаковий результат. Прямуючи вздовж дійсної осі, отримаємо

\lim _{\underset {h\in \mathbb {R} }{h\to 0}}{\frac {f(z_{0}+h)-f(z_{0})}{h}}={\frac {\partial f}{\partial x}}(z_{0}).

З іншого боку, прямуючи уздовж уявної осі,

\lim _{\underset {\eta \in \mathbb {R} }{\eta \to 0}}{\frac {f(z_{0}+{\rm {i}}\eta )-f(z_{0})}{i\eta }}={\frac {1}{\rm {i}}}{\frac {\partial f}{\partial y}}(z_{0}).

Із рівності похідних функції $f$ вздовж двох осей отримаємо

{\rm {i}}{\frac {\partial f}{\partial x}}(z_{0})={\frac {\partial f}{\partial y}}(z_{0}),

які є рівняннями Коші—Рімана (2) у точці $z_{0}$ .
І навпаки, якщо $f\colon \mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C}$ є функцією, яка диференційована, якщо розглядати її як функцію на $\mathbb {R} ^{2}$ , то вона є комплексно диференційованою тоді й лише тоді, коли виконуються умови Коші—Рімана. Іншими словами, якщо $u$ і $v$ є дійснозначними диференційованими функціями двох дійсних змінних, тоді очевидно $u+{\rm {i}}v$ є (комплекснозначною) дійснозначною диференційованою функцією, але $u+{\rm {i}}v$ є комплексно диференційованою тоді й лише тоді, коли виконується умови Коші—Рімана.
Справді, слідуючи Рудіну,^[5] нехай $f$ — комплексна функція, що визначена на відкритій множині $\Omega \subset \mathbb {C}$ . Тоді, записавши $z=x+{\rm {i}}y$ для кожного $z\in \Omega$ , можна розглядати $\Omega$ як відкриту підмножину $\mathbb {R} ^{2}$ , і $f$ як функцію двох дійсних змінних $x$ і $y$ , яка відображає $\Omega \subset \mathbb {R} ^{2}$ у $\mathbb {C}$ . Розглянемо умови Коші—Рімана у точці $z=z_{0}$ . Нехай функція $f$ є диференційованою у точці $z_{0}$ як функція двох дійсних змінних з $\Omega$ в $\mathbb {C}$ . Це еквівалентно існуванню наступного лінійного наближення

f(z_{0}+\Delta z)-f(z_{0})=f_{x}\Delta x+f_{y}\Delta y+\eta (\Delta z)\Delta z,

де $z=x+{\rm {i}}y$ та $\eta (\Delta z)\rightarrow 0$ при $\Delta z\rightarrow 0$ . Оскільки $\Delta z+\Delta {\bar {z}}=2\Delta x$ і $\Delta z-\Delta {\bar {z}}=2{\rm {i}}\Delta y$ , то вищезазначене можна переписати як

\Delta f(z_{0})={\frac {f_{x}-{\rm {i}}f_{y}}{2}}\Delta z+{\frac {f_{x}+{\rm {i}}f_{y}}{2}}\Delta {\bar {z}}+\eta (\Delta z)\Delta z.

Визначаючи дві похідні Віртінгера^[en] як

{\frac {\partial }{\partial z}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}-{\rm {i}}{\frac {\partial }{\partial y}}\right),\quad {\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}+{\rm {i}}{\frac {\partial }{\partial y}}\right),

при $\Delta z\to 0$ , $\Delta {\bar {z}}\to 0$ рівність написану вище можна записати як

\left.{\frac {{\rm {d}}f}{{\rm {d}}z}}\right|_{z=z_{0}}=\left.{\frac {\partial f}{\partial z}}\right|_{z=z_{0}}+\left.{\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}\right|_{z=z_{0}}\cdot {\frac {{\rm {d}}{\bar {z}}}{{\rm {d}}z}}+\eta (\Delta z),\quad \Delta z\neq 0.

Тепер розглянемо потенційні значення ${\rm {d}}{\bar {z}}/{\rm {d}}z$ , коли границя обчислюється в початку координат. Для $z$ вздовж дійсної осі маємо, що ${\bar {z}}=z$ , а тому ${\rm {d}}{\bar {z}}/{\rm {d}}z=1$ . Аналогічно для чисто уявного $z$ маємо, що ${\rm {d}}{\bar {z}}/{\rm {d}}z=-1$ , а тому значення ${\rm {d}}{\bar {z}}/{\rm {d}}z$ не добре визначеним в початку координат. Легко перевірити, що ${\rm {d}}{\bar {z}}/{\rm {d}}z$ не є добре визначеним при будь-якому значенні $z$ . Звідси функція $f$ є комплексно диференційованою в точці $z_{0}$ тоді й лише тоді, коли $\left(\partial f/\partial {\bar {z}}\right)=0$ у точці $z=z_{0}$ . Але це в точності є умовами Коші—Рімана, а тому функція $f$ диференційована в точці $z_{0}$ тоді й лише тоді, коли в точці $z_{0}$ виконуються умови Коші—Рімана.

Незалежність від комплексного спряження[ред. | ред. код]

Наведене вище доведення пропонує іншу інтерпретацію умов Коші—Рімана. Комплексно спряжене для числа $z$ , позначається як ${\bar {z}}$ , визначається як

{\overline {x+{\rm {i}}y}}:=x-{\rm {i}}y

для дійсних $x$ та $y$ . Умови Коші—Рімана тоді можна записати як одне рівняння

${\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}=0,$

(3)

використовуючи похідну Віртінгера відносно спряженої змінної^[en]. У цій формі умови Коші—Рімана можна інтерпретувати як твердження, що функція $f$ є незалежною від змінної ${\bar {z}}$ . Таким чином, можна розглядати аналітичні функції як істинні функції однієї комплексної змінної, а не комплексні функції двох дійсних змінних.

Фізична інтерпретація[ред. | ред. код]

Стандартна фізична інтерпретація умов Коші—Рімана, що бере свій початок з роботи Рімана по теорії функцій,^[6] полягає в тому, що функція $u$ є потенціалом швидкості^[en] нестисної стаціонарної течії рідини на площині, а $v$ — функція току^[en]. Нехай пара (двічі неперервно диференційованих) функцій $u$ , $v$ задовольняє умови Коші—Рімана. Розглянемо функцію $u$ як потенціал швидкості, це означає, що уявляємо течію рідини на площині так, що вектор швидкості рідини в кожній точці цієї площини дорівнює градієнту функції $u$ , визначеному як

\nabla u={\frac {\partial u}{\partial x}}{\boldsymbol {i}}+{\frac {\partial u}{\partial y}}{\boldsymbol {j}}.

Диференціюючи умови Коші—Рімана вдруге, можна побачити, що функція $u$ є розв'язком рівняння Лапласа:

{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=0.

Тобто $u$ — гармонічна функція. Це означає, що дивергенція градієнта дорівнює нулю, а отже, рідина нестисна.
З аналогічних міркувань функція $v$ також задовольняє рівняння Лапласа. Крім того, з умов Коші—Рімана випливає, що скалярний добуток градієнтів функцій $u$ та $v$ дорівнює нулю, тобто $\nabla u\cdot \nabla v=0$ . Це означає, що градієнт функції $u$ має вказувати на криві $v={\text{const}}$ ; отже, це лінії току течії. Криві $u={\text{const}}$ є еквіпотенціальними кривими течії.
Отже, голоморфну функцію можна візуалізувати, побудувавши графік двох сімейств кривих рівнів $u={\text{const}}$ і $v={\text{const}}$ . Поблизу точок, де градієнт функції $u$ (або, еквівалентно, функції $v$ ) не дорівнює нулю, ці сім'ї утворюють ортогональне сімейство кривих. У точках, де $\nabla u=0$ (стаціонарні точки течії), еквіпотенціальні криві для $u={\text{const}}$ перетинаються. Лінії току також перетинаються в цій самій точці, ділячи навпіл кути, що утворені еквіпотенціальними кривими.

Гармонічне векторне поле[ред. | ред. код]

Іншу інтерпретацію умов Коші—Рімана можна знайти в книзі Поя та Сего.^[7]. Нехай функції $u$ і $v$ задовольняють умови Коші—Рімана у відкритій підмножині $\mathbb {R} ^{2}$ , розглянемо векторне поле

{\bar {f}}={\begin{bmatrix}u\\-v\end{bmatrix}},

яке трактується як (дійсний) двокомпонентний вектор. Тоді друга умова Коші—Рімана (1b) стверджує, що вектор ${\bar {f}}$ є безвихровим (його ротор дорівнює 0):

{\frac {\partial (-v)}{\partial x}}-{\frac {\partial u}{\partial y}}=0.

Перша умова Коші—Рімана (1a) стверджує, що задане векторне поле є соленоїдним (його дивергенція дорівнює 0):

{\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial (-v)}{\partial y}}=0.

Відповідно до теореми Гріна та теореми Остроградського таке поле обов'язково є потенціальним, тобто у ньому немає джерел або поглиначів, і має нульовий чистий потік через будь-яку відкриту область без дірок. (Ці два спостереження поєднуються як дійсна та уявна частини в інтегральній теоремі Коші.) У гідродинаміці таке векторне поле є потенціальною течією^[en].^[8] У магнітостатиці такі векторні поля моделюють статичні магнітні поля в області площини, яка не містить струму. В електростатиці вони моделюють статичні електричні поля в області площини, яка не містить електричного заряду.
Цю інтерпретацію можна еквівалентно переформулювати на мові диференціальних форм. Пара функцій $u$ , $v$ задовольняє умови Коші—Рімана тоді й лише тоді, коли 1-форма $v\,{\rm {d}}x+u\,{\rm {d}}y$ одночасно замкнена^[en] і козамкнена (гармонічна диференціальна форма).

Збереження комплексної структури[ред. | ред. код]

Інше формулювання умов Коші—Рімана включає комплексну структуру^[en] на площині, яка задана матрицею

J={\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}}.

Це комплексна структура в тому сенсі, що квадрат матриці $J$ є від'ємна одинична $2\times 2$ матриця: $J^{2}=-I$ . Як і вище, якщо $u(x,y)$ , $v(x,y)$ — дві функції на площині, то покладемо

f(x,y)={\begin{bmatrix}u(x,y)\\v(x,y)\end{bmatrix}}.

Матриця Якобі для функції $f$ — це матриця частинних похідних

Df(x,y)={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial u}{\partial x}}&{\dfrac {\partial u}{\partial y}}\\{\dfrac {\partial v}{\partial x}}&{\dfrac {\partial v}{\partial y}}\end{bmatrix}}.

Тоді пара функцій $u$ та $v$ задовольняє умови Коші—Рімана тоді й лише тоді, коли $2\times 2$ матриця $Df$ комутує з матрицею $J$ .^[9]
Ця інтерпретація корисна в симплектичній геометрії, де вона є початковою точкою для вивчення псевдоголоморфних кривих.

Інше представлення[ред. | ред. код]

Інше представлення умов Коші—Рімана іноді виникають в інших системах координат. Якщо рівняння (1a) і (1b) виконуються для диференційованої пари функцій $u$ і $v$ , то

{\frac {\partial u}{\partial n}}={\frac {\partial v}{\partial s}},\quad {\frac {\partial v}{\partial n}}=-{\frac {\partial u}{\partial s}}

для будь-якої системи координат $(n(x,y),s(x,y))$ такої, що пара $(\nabla n,\nabla s)$ ортонормована^[en] і додатно орієнтована. Як наслідок, зокрема, у системі координат заданій полярним представленням $z=r'{\rm {e}}^{{\rm {i}}\theta }$ рівняння набувають вигляду

{\frac {\partial u}{\partial r}}={\frac {1}{r}}{\frac {\partial v}{\partial \theta }},\quad {\frac {\partial v}{\partial r}}=-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial u}{\partial \theta }}.

Об'єднавши їх в одне рівняння для функції $f$ , отримуємо

{\frac {\partial f}{\partial r}}={\frac {1}{{\rm {i}}r}}{\frac {\partial f}{\partial \theta }}.

Неоднорідні умови Коші—Рімана складаються з двох рівнянь для пари невідомих функцій $u(x,y)$ і $v(x,y)$ двох дійсних змінних

{\frac {\partial u}{\partial x}}-{\frac {\partial v}{\partial y}}=\alpha (x,y),

{\frac {\partial u}{\partial y}}+{\frac {\partial v}{\partial x}}=\beta (x,y)

для деяких заданих функцій $\alpha (x,y)$ і $\beta (x,y)$ , що визначені у відкритій підмножині в $\mathbb {R} ^{2}$ . Ці рівняння зазвичай об'єднують в одне рівняння

{\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}=\varphi (z,{\bar {z}}),

де $f=u+{\rm {i}}v$ і $\varphi =(\alpha +{\rm {i}}\beta )/2$ .
Якщо функція $\varphi$ є неперервно диференціовною функцією порядку $k$ (гладкою функцією порядку $k$ ), то неоднорідне рівняння явно розв'язується в будь-якій обмеженій області $D$ за умови, що функція $\varphi$ є неперервною на замиканні області $D$ . Дійсно, за інтегральною формулою Коші

f\left(\zeta ,{\bar {\zeta }}\right)={\frac {1}{2\pi {\rm {i}}}}\iint _{D}\varphi \left(z,{\bar {z}}\right)\,{\frac {{\rm {d}}z\wedge {\rm {d}}{\bar {z}}}{z-\zeta }}

для всіх $\zeta \in D$ .

Узагальнення[ред. | ред. код]

Теорема Гурса та її узагальнення[ред. | ред. код]

Дивись також: Теорема Коші—Гурса
Нехай $f=u+{\rm {i}}v$ — комплекснозначна функція, яка диференційована як функція $f\colon \mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$ . Тоді теорема Гурса^[en] стверджує, що функція $f$ є аналітичною у відкритій комплексній області $\Omega$ тоді й лише тоді, коли вона задовольняє умови Коші —Рімана в області.^[10] Зокрема, не потрібно вимагати неперервну диференційованість функції $f$ .^[11] Умови теореми Гурса^[en] можна значно послабити. Якщо функція $f=u+{\rm {i}}v$ є неперервною на відкритій множині частинні похідні від функції $f$ за змінними $x$ і $y$ існують на множині $\Omega$ і задовольняють умови Коші—Рімана на всій множині $\Omega$ , то функція $f$ є голоморфною (і, отже, аналітичною). Це результат теореми Лумана—Меньшова.
Умова, що функція $f$ задовольняє умови Коші—Рімана на усій області $\Omega$ , є суттєвою. Можна побудувати неперервну функцію, яка задовольняє умови Коші—Рімана в точці, але не є аналітичною в цій точці (наприклад, $f(z)=z^{5}/|z|^{4})$ . Так само, крім умов Коші—Рімана, необхідні деякі додаткові припущення (наприклад, неперервність), як ілюструє наступний приклад^[12]

f(z)={\begin{cases}\exp \left(-z^{-4}\right),&{\text{якщо}}\ z\not =0,\\0,&{\text{якщо}}\ z=0.\end{cases}}

Функція скрізь задовольняє умови Коші—Рімана, але не є неперервною у точці $z=0$ .
Тим не менш, якщо функція задовольняє умови Коші—Рімана на відкритій множині в слабкому сенсі, то функція є аналітичною. Точніше:^[13]
Якщо функція $f(z)$ локально інтегрована на відкритій області $\Omega \subset \mathbb {C}$ і слабо задовольняє умови Коші—Рімана, то функція $f$ майже скрізь співпадає з аналітичною функцією на області $\Omega$ .
Фактично це частинний випадок більш загального результату про регулярність розв'язків гіпоеліптичних^[en] диференціальних рівнянь з частинними похідними.

Випадок кількох змінних[ред. | ред. код]

Існують належним чином узагальнені умови Коші—Рімана і в теорії функцій кількох комплексних змінних^[en]. Вони утворюють суттєво перевизначену систему^[en] диференціальних рівнянь з частинними похідними. Це робиться з використанням прямого узагальнення похідної Віртінгера^[en], де розглянута функція повинна мати (частинну) похідну Віртінгера відносно кожної комплексної змінної, яка дорівнює нулю.

Комплексні диференціальні форми[ред. | ред. код]

Як зазвичай формулюють, d-bar оператор^[en] ${\bar {\partial }}$ анулює голоморфні функції. Це безпосередньо узагальнює формулювання

{\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}=0,

де

{\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}+{\rm {i}}{\frac {\partial f}{\partial y}}\right).

Перетворення Беклунда[ред. | ред. код]

З точки зору спряжених гармонічних функцій^[en] умови Коші—Рімана є простим прикладом перетворення Беклунда. Більш складні, у загальному випадку нелінійні перетворення Беклунда, такі як рівняння синус-Ґордона, представляють значний інтерес у теорії солітонів та інтегрованих систем.

Означення в алгебрі Кліффорда[ред. | ред. код]

В алгебрі Кліффорда комплексне число $z=x+{\rm {i}}y$ представляється як $z\equiv x+Iy$ , де $I\equiv \sigma _{1}\sigma _{2}$ . Оператор фундаментальної похідної в алгебрі Кліффорда комплексних чисел визначається як $\nabla \equiv \sigma _{1}\partial _{x}+\sigma _{2}\partial _{y}$ . Функція $f=u+Iv$ вважається аналітичною тоді й лише тоді, коли $\nabla f=0$ , або у розгорнутому вигляді:

{\begin{aligned}0=\nabla f&=(\sigma _{1}\partial _{x}+\sigma _{2}\partial _{y})(u+\sigma _{1}\sigma _{2}v)\\&=\sigma _{1}\partial _{x}u+\underbrace {\sigma _{1}\sigma _{1}\sigma _{2}} _{=\sigma _{2}}\partial _{x}v+\sigma _{2}\partial _{y}u+\underbrace {\sigma _{2}\sigma _{1}\sigma _{2}} _{=-\sigma _{1}}\partial _{y}v=0.\end{aligned}}

Після перегрупування отримаємо

{\begin{aligned}\nabla f=\sigma _{1}(\partial _{x}u-\partial _{y}v)+\sigma _{2}(\partial _{x}v+\partial _{y}u)=0\ {\begin{cases}\partial _{x}u-\partial _{y}v=0,\partial _{x}v+\partial _{y}u=0.\end{cases}}\end{aligned}}

Звідси, у традиційних позначеннях:

{\begin{cases}{\dfrac {\partial u}{\partial x}}={\dfrac {\partial v}{\partial y}},\\{\dfrac {\partial u}{\partial y}}=-{\dfrac {\partial v}{\partial x}}.\end{cases}}

Конформні відображення для вищих розмірностей[ред. | ред. код]

Нехай $\Omega$ — відкрита множина в евклідовому просторі $\mathbb {R} ^{n}$ . Рівняння для відображення, що зберігає орієнтацію, $f\colon \Omega \to \mathbb {R} ^{n}$ є конформним відображенням (тобто таке що зберігає кути), якщо

Df^{\mathsf {T}}Df=(\det(Df))^{2/n}I,

де $Df$ — матриця Якобі, $Df^{\mathsf {T}}$ — трансформована матриця Якобі, $I$ — одинична матриця.^[14] У випадку $n=2$ ця система еквівалентна стандартним умовам Коші—Рімана для комплексних змінних, а розв'язки цих умов є голоморфними функціями. У розмірності $n>2$ ці умови все ще іноді називають системою Коші—Рімана, і з теореми Ліувіля випливає, за відповідних припущень про гладкість, що будь-яке таке відображення є перетворенням Мебіуса.

Див. також[ред. | ред. код]

Примітки[ред. | ред. код]

↑ d'Alembert, Jean (1752). Essai d'une nouvelle théorie de la résistance des fluides. Paris: David l'aîné. Reprint 2018 by Hachette Livre-BNF ISBN 978-2012542839.
↑ Euler, Leonhard (1797). Ulterior disquisitio de formulis integralibus imaginariis. Nova Acta Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae. 10: 3–19.
↑ Cauchy, Augustin L. (1814). Mémoire sur les intégrales définies. Oeuvres complètes Ser. 1. Vol. 1. Paris (published 1882). pp. 319–506.
↑ Riemann, Bernhard (1851). Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Funktionen einer veränderlichen komplexen Grösse. In H. Weber (ed.). Riemann's gesammelte math. Werke (in German). Dover (published 1953). pp. 3–48.
↑ Rudin 1966.
↑ Див. Klein, Felix (1893). On Riemann's theory of algebraic functions and their integrals. Translated by Frances Hardcastle. Cambridge: MacMillan and Bowes.
↑ Pólya, George; Szegő, Gábor (1978). Problems and theorems in analysis I. Springer. ISBN 3-540-63640-4.
↑ Chanson, H. (2007). "Le Potentiel de Vitesse pour les Ecoulements de Fluides Réels: la Contribution de Joseph-Louis Lagrange" [Velocity Potential in Real Fluid Flows: Joseph-Louis Lagrange's Contribution]. Journal la Houille Blanche. 5: 127–131. doi:10.1051/lhb:2007072. ISSN 0018-6368. S2CID 110258050.
↑ Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1969). Foundations of differential geometry, volume 2. Wiley. Proposition IX.2.2.
↑ Rudin 1966, Theorem 11.2
↑ Dieudonné, Jean Alexandre (1969). Foundations of modern analysis. Academic Press. §9.10, Ex. 1.
↑ Looman 1923, p. 107.
↑ Gray & Morris 1978, Theorem 9.
↑ Iwaniec, T.; Martin, G. (2001). Geometric function theory and non-linear analysis. Oxford. p.~32.

Література[ред. | ред. код]

Gray, J. D.; Morris, S. A. (April 1978). When is a Function that Satisfies the Cauchy–Riemann Equations Analytic?. The American Mathematical Monthly. 85 (4): 246—256. doi:10.2307/2321164. JSTOR 2321164.
Looman, H. (1923). Über die Cauchy–Riemannschen Differentialgleichungen. Göttinger Nachrichten (нім.): 97—108.
Rudin, Walter (1966). Real and complex analysis (вид. 3rd). McGraw Hill (опубліковано опубліковано 1987). ISBN 0-07-054234-1.

Додаткова література[ред. | ред. код]

Ahlfors, Lars (1953). Complex analysis (вид. 3rd). McGraw Hill (опубліковано опубліковано 1979). ISBN 0-07-000657-1.
Solomentsev, E.D. (2001). Cauchy–Riemann conditions. У Hazewinkel, Michiel. Encyclopedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1-55608-010-4.
Stewart, Ian; Tall, David (1983). Complex Analysis (вид. 1st). CUP (опубліковано опубліковано 1984). ISBN 0-521-28763-4.

Зовнішні посилання[ред. | ред. код]

Weisstein, Eric W. Cauchy–Riemann Equations(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
Cauchy–Riemann Equations Module by John H. Mathews

[d'Alembert,_Jean_(1752)._Essai_d'une_nouvelle_théorie_de_la_résistance_des_fluides._Paris:_David_l'aîné._Reprint_2018_by_Hachette_Livre-BNF_ISBN_978-2012542839.-1] 'Alembert, Jean (1752). Essai d'une nouvelle théorie de la résistance des fluides. Paris: David l'aîné. Reprint 2018 by Hachette Livre-BNF ISBN 978-2012542839.

[Euler,_Leonhard_(1797)._Ulterior_disquisitio_de_formulis_integralibus_imaginariis._Nova_Acta_Academiae_Scientiarum_Imperialis_Petropolitanae._10:_3–19.-2] Euler, Leonhard (1797). Ulterior disquisitio de formulis integralibus imaginariis. Nova Acta Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae. 10: 3–19.

[Cauchy,_Augustin_L._(1814)._Mémoire_sur_les_intégrales_définies._Oeuvres_complètes_Ser._1._Vol._1._Paris_(published_1882)._pp._319–506.-3] Cauchy, Augustin L. (1814). Mémoire sur les intégrales définies. Oeuvres complètes Ser. 1. Vol. 1. Paris (published 1882). pp. 319–506.

[Riemann,_Bernhard_(1851)._Grundlagen_für_eine_allgemeine_Theorie_der_Funktionen_einer_veränderlichen_komplexen_Grösse._In_H._Weber_(ed.)._Riemann's_gesammelte_math._Werke_(in_German)._Dover_(published_1953)._pp._3–48.-4] Riemann, Bernhard (1851). Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Funktionen einer veränderlichen komplexen Grösse. In H. Weber (ed.). Riemann's gesammelte math. Werke (in German). Dover (published 1953). pp. 3–48.

[Rudin_1966.-5] Rudin 1966.

[Див._Klein,_Felix_(1893)._On_Riemann's_theory_of_algebraic_functions_and_their_integrals._Translated_by_Frances_Hardcastle._Cambridge:_MacMillan_and_Bowes.-6] Див. Klein, Felix (1893). On Riemann's theory of algebraic functions and their integrals. Translated by Frances Hardcastle. Cambridge: MacMillan and Bowes.

[Pólya,_George;_Szegő,_Gábor_(1978)._Problems_and_theorems_in_analysis_I._Springer._ISBN_3-540-63640-4.-7] Pólya, George; Szegő, Gábor (1978). Problems and theorems in analysis I. Springer. ISBN 3-540-63640-4.

[Chanson,_H._(2007)._Le_Potentiel_de_Vitesse_pour_les_Ecoulements_de_Fluides_Réels:_la_Contribution_de_Joseph-Louis_Lagrange_[Velocity_Potential_in_Real_Fluid_Flows:_Joseph-Louis_Lagrange's_Contribution]._Journal_la_Houille_Blanche._5:_127–131._doi:10.1051/lhb:2007072._ISSN_0018-6368._S2CID_110258050.-8] Chanson, H. (2007). "Le Potentiel de Vitesse pour les Ecoulements de Fluides Réels: la Contribution de Joseph-Louis Lagrange" [Velocity Potential in Real Fluid Flows: Joseph-Louis Lagrange's Contribution]. Journal la Houille Blanche. 5: 127–131. doi:10.1051/lhb:2007072. ISSN 0018-6368. S2CID 110258050.

[Kobayashi,_Shoshichi;_Nomizu,_Katsumi_(1969)._Foundations_of_differential_geometry,_volume_2._Wiley._Proposition_IX.2.2.-9] Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1969). Foundations of differential geometry, volume 2. Wiley. Proposition IX.2.2.

[Rudin_1966,_Theorem_11.2-10] Rudin 1966, Theorem 11.2

[Dieudonné,_Jean_Alexandre_(1969)._Foundations_of_modern_analysis._Academic_Press._§9.10,_Ex._1.-11] Dieudonné, Jean Alexandre (1969). Foundations of modern analysis. Academic Press. §9.10, Ex. 1.

[Looman_1923,_p._107.-12] Looman 1923, p. 107.

[Gray_&_Morris_1978,_Theorem_9.-13] Gray & Morris 1978, Theorem 9.

[Iwaniec,_T.;_Martin,_G._(2001)._Geometric_function_theory_and_non-linear_analysis._Oxford._p.~32.-14] Iwaniec, T.; Martin, G. (2001). Geometric function theory and non-linear analysis. Oxford. p.~32.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

Умови Коші — Рімана

Зміст

Теорема[ред. | ред. код]

В декартових координатах[ред. | ред. код]

В полярних координатах[ред. | ред. код]

Наслідки[ред. | ред. код]

Простий приклад[ред. | ред. код]

Історія[ред. | ред. код]

Інтерпретація та переформулювання[ред. | ред. код]

Конформні відображення[ред. | ред. код]

Комплексна диференційованість[ред. | ред. код]

Незалежність від комплексного спряження[ред. | ред. код]

Фізична інтерпретація[ред. | ред. код]

Гармонічне векторне поле[ред. | ред. код]

Збереження комплексної структури[ред. | ред. код]

Інше представлення[ред. | ред. код]

Узагальнення[ред. | ред. код]

Теорема Гурса та її узагальнення[ред. | ред. код]

Випадок кількох змінних[ред. | ред. код]

Комплексні диференціальні форми[ред. | ред. код]

Перетворення Беклунда[ред. | ред. код]

Означення в алгебрі Кліффорда[ред. | ред. код]

Конформні відображення для вищих розмірностей[ред. | ред. код]

Див. також[ред. | ред. код]

Примітки[ред. | ред. код]

Література[ред. | ред. код]

Додаткова література[ред. | ред. код]

Зовнішні посилання[ред. | ред. код]

Навігаційне меню

Умови Коші — Рімана

Теорема[ред. | ред. код]

В декартових координатах[ред. | ред. код]

В полярних координатах[ред. | ред. код]

Наслідки[ред. | ред. код]

Простий приклад[ред. | ред. код]

Історія[ред. | ред. код]

Інтерпретація та переформулювання[ред. | ред. код]

Конформні відображення[ред. | ред. код]

Комплексна диференційованість[ред. | ред. код]

Незалежність від комплексного спряження[ред. | ред. код]

Фізична інтерпретація[ред. | ред. код]

Гармонічне векторне поле[ред. | ред. код]

Збереження комплексної структури[ред. | ред. код]

Інше представлення[ред. | ред. код]

Узагальнення[ред. | ред. код]

Теорема Гурса та її узагальнення[ред. | ред. код]

Випадок кількох змінних[ред. | ред. код]

Комплексні диференціальні форми[ред. | ред. код]

Перетворення Беклунда[ред. | ред. код]

Означення в алгебрі Кліффорда[ред. | ред. код]

Конформні відображення для вищих розмірностей[ред. | ред. код]

Див. також[ред. | ред. код]

Примітки[ред. | ред. код]

Література[ред. | ред. код]

Додаткова література[ред. | ред. код]

Зовнішні посилання[ред. | ред. код]

Навігаційне меню

Пошук