Умовна ймовірність

Частина серії статей з статистики
Теорія ймовірностей
Аксіоми
Ймовірнісний простір Простір елементарних подій Елементарна подія Випадкова подія Випадкова величина Міра ймовірності
Доповнювальна подія Спільний розподіл Відособлений розподіл Умовна ймовірність
Незалежність Умовна незалежність Формула повної ймовірності Закон великих чисел Теорема Баєса Нерівність Буля
Діаграма Венна Деревна діаграма

Умо́вна ймові́рність — ймовірність однієї події за умови, що інша подія вже відбулася.

Нехай $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ — фіксований ймовірнісний простір. Нехай $A,B\in {\mathcal {F}}$ дві випадкової події, причому $\mathbb {P} (B)>0$. Тоді умовною ймовірністю події $A$ при умові події $B$ називається

$\mathbb {P} (A\vert B)={\frac {\mathbb {P} (A\cap B)}{\mathbb {P} (B)}}.$

Властивості

• Прямо з визначення очевидно випливає, що

$\mathbb {P} (A\cap B)=\mathbb {P} (A\vert B)\;\mathbb {P} (B).$

• Якщо $\mathbb {P} (B)=0$, то умовна ймовірність, строго кажучи, не визначена. Проте іноді умовляються вважати її в цьому випадку рівною нулю .

• Умовна ймовірність є ймовірністю, тобто функція $\mathbb {Q} :{\mathcal {F}}\to \mathbb {R}$, задана формулою

$\mathbb {Q} (A)=\mathbb {P} (A\vert B),\;\forall A\in {\mathcal {F}},$

задовольняє усі аксіоми імовірнісної міри.

Статистична незалежність

Події $A$ і $B$ є статистично незалежними, якщо

$P(A\cap B)=P(A)P(B).$

Якщо $P(B)$ не нульова, це еквівалентне виразу

$P(A|B)=P(A).$

Так само, якщо $P(A)$ не дорівнює нулю, тоді

$P(B|A)=P(B).$

також еквівалентно.

Приклад

Якщо $A,B$ — несумісні події, тобто $A\cap B=\varnothing$ та $\mathbb {P} (A)>0,\;\mathbb {P} (B)>0$, тоді

$\mathbb {P} (A\vert B)=0$

та

$\mathbb {P} (B\vert A)=0$.

Див. також

• Незалежність подій;
• Умовне математичне сподівання;
• Формула повної ймовірності;
• Теорема Баєса.

Джерела

• Карташов М. В. Імовірність, процеси, статистика. — Київ : ВПЦ Київський університет, 2007. — 504 с.
• Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. — 6-е изд. — Москва : Наука, 1988. — 446 с.(рос.)
• Гихман И. И., Скороход А. В., Ядренко М. В. Теория вероятностей и математическая статистика. — Київ : Вища школа, 1988. — 436 с.(рос.)
• Capinski, Marek, Kopp, Peter E. Measure, Integral and Probability. Springer Verlag 2004 ISBN 9781852337810
• Williams D., Probability with Martingales, Cambridge University Press, 1991, ISBN 0-521-40605-6