Умовний розподіл

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Умовний розподіл у теорії ймовірностей — це розподіл випадкової величини за умови, що інша випадкова величина набуває визначене значення.

Визначення[ред.ред. код]

Передбачимо, що задано ймовірнісний простір (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}).

Дискретні випадкові величини[ред.ред. код]

Нехай X: \Omega \to \mathbb{R}^m і Y:\Omega \to \mathbb{R}^n — випадкові величини, такі, що випадковий вектор (X,y)^{\top}:\Omega \to \mathbb{R}^{m+n} має дискретний розподіл, що задається функцією ймовірностей p_{X,y}(x,y),\; x\in \mathbb{R}^m,y\in \mathbb{R}^n. Нехай y_0 \in \mathbb{R}^n такий, що \mathbb{P}(Y = y_0) > 0. Тоді функція

p_{X \mid Y}(x \mid y_0) = \mathbb{P}(X = x \mid Y = y_0) = { p_{X,y}(x,y_0) \over p_y(y_0)}, \; x \in \mathbb{R}^m,

де p_{Y} - функція ймовірностей випадкової величини Y, називається умовною функцією ймовірностей випадкової величини X за умови, що Y = y_0. Розподіл, що задається умовною функцією ймовірностей, називається умовним розподілом.

Абсолютно неперервні випадкові величини[ред.ред. код]

Нехай X: \Omega \to \mathbb{R}^m и Y:\Omega \to \mathbb{R}^n - випадкові величини, такі що випадковий вектор (X,Y)^{\top}:\Omega \to \mathbb{R}^{m+n} має абсолютно неперервний розподіл, який задається щільностю ймовірностей f_{X,Y}(x,y),\; x\in \mathbb{R}^m, y \in \mathbb{R}^n. Нехай y_0 \in \mathbb{R}^n таке, що f_Y(y_0) > 0, де f_Y - щільність випадкової величини Y. Тоді функція

f_{X \mid Y}(x \mid y_0) = \frac{f_{X,Y}(x,y_0)}{f_Y(y_0)}

називається умовною щільностю ймовірності випадкової велечини X за умови, що Y = y_0. Розподіл, який задається умовною функцією ймовірності, називається умовним розподілом.

Властивості умовних розподілів[ред.ред. код]

  • Умовні функції ймовірності і умовна щільність ймовірності є функціями ймовірності і щільністю ймовірності відповідно, тобто вони задовольняють всім необхідним умовам. Зокрема
  • p_{X\mid Y}(x\mid y_0) \ge 0,\; \forall x \in \mathbb{R}^m,\, y_0\in \mathbb{R}^n,
  • \sum\limits_x p_{X \mid Y}(x \mid y_0)= 1,\; \forall y_0\in \mathbb{R}^n,

і

  • p_X(x) = \sum\limits_{y} p_{X\mid Y}(x \mid y)\, p_Y(y),
  • f_X(x) = \int\limits_{\mathbb{R}^n} f_{X \mid Y}(x\mid y)\, f_Y(y)\, dy.
  • Якщо випадкові величини X і Y незалежні то умовний розподіл дорівнює безумовному:
p_{X \mid Y}(x \mid y_0) = p_x(x),\; \forall x \in \mathbb{R}^m

або

f_{X\mid Y}( x\mid y_0 ) = f_x(x) майже усюди на \mathbb{R}^m.

Умовні ймовірності[ред.ред. код]

Дискретні випадкові величини[ред.ред. код]

Якщо A - зліченна підмножина \mathbb{R}^m, то

\mathbb{P}(X \in A \mid Y = y_0) = \sum\limits_{x \in A} p_{X \mid Y}(x \mid y_0).

Абсолютно неперервні випадкові величини[ред.ред. код]

Якщо A \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^m) - борелівська підмножина \mathbb{R}^m, то припускаємо за визначенням

\mathbb{P}(X\in A \mid Y = y_0) = \int\limits_A f_{X \mid Y}(x \mid y_0)\, dx.

Зауваження. Умовна ймовірність у лівій частині рівності не може бути визначена класичним способом, оскільки \mathbb{P}(Y = y_0) = 0.

Умовні математичні сподівання[ред.ред. код]

Дискретні випадкові величини[ред.ред. код]

\mathbb{E}[X \mid Y = y_0 ] = \sum\limits_{x} x\ p_{X \mid Y}(x \mid y_0).
  • Умовне математичне сподівання X за умови випадкової величини Y - це третя випадкова величина \mathbb{E}[X \mid Y], що задається рівністю
\mathbb{E}[X \mid Y](\omega) = \mathbb{E}[X \mid Y = Y(\omega)],\; \omega \in \Omega.

Абсолютно неперервні випадкові величини[ред.ред. код]

  • Умовне математичне сподівання випадкової величини X за умови Y = y_0 виходить інтеграцією щодо умовного розподілу:
\mathbb{E}[X \mid Y = y_0 ] = \int\limits_{\mathbb{R}^m} x\, f_{X \mid Y}(x \mid y_0)\, dx.
  • Умовне математичне сподівання X за умови випадкової величини Y - це третя випадкова величина \mathbb{E}[X \mid Y], що задається рівністю
\mathbb{E}[X \mid Y](\omega) = \mathbb{E}[X \mid Y = Y(\omega)],\; \omega \in \Omega.