Підстановка тангенса півкута

Підстановка Веєрштраса, тут ілюстрована як стереографічна проєкція кола.

Підстановка тангенса півкута або універсальна тригонометрична підстановка (англ. tangent half-angle substitution) — підстановка використовна для віднайдення первісної та визначеного інтеграла раціональних функцій від тригонометричних функцій.

Підстановка

Зв'язок зі стереографічною проєкцією

Почавши з задачі знаходження первісної раціональної функції від синуса і косинуса і замінивши $\sin x$, $\cos x$ і диференціал $\operatorname {d} \!t$ відповідно раціональними функціями від змінної $t$ та добутком функції від $t$ з диференціалом $\operatorname {d} \!t$, отже,

${\begin{aligned}\sin x&={\frac {2t}{1+t^{2}}}\\[8pt]\cos x&={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}\\[8pt]\mathrm {d} x&={\frac {2\,\mathrm {d} t}{1+t^{2}}}.\end{aligned}}$

Отримання

Нехай

$t=\mathrm {tg} {\frac {x}{2}}.$

Використовуючи тригонометричні тотожності,

${\begin{aligned}\sin x&=2\sin {\frac {x}{2}}\cos {\frac {x}{2}}\\[8pt]&=2t\cos ^{2}{\frac {x}{2}}\\[8pt]&={\frac {2t}{\sec ^{2}{\frac {x}{2}}}}\\[8pt]&={\frac {2t}{1+t^{2}}}.\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\cos x&=1-2\sin ^{2}{\frac {x}{2}}\\[8pt]&=1-2t^{2}\cos ^{2}{\frac {x}{2}}\\[8pt]&=1-{\frac {2t^{2}}{\sec ^{2}{\frac {x}{2}}}}\\[8pt]&=1-{\frac {2t^{2}}{1+t^{2}}}\\[8pt]&={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}.\end{aligned}}$

Диференціал $\operatorname {d} \!x$ можна обчислити так:

${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} t}{\mathrm {d} x}}&={\frac {1}{2}}\sec ^{2}{\frac {x}{2}}\\[8pt]&={\frac {1+t^{2}}{2}}\\[8pt]\Rightarrow \mathrm {d} x&={\frac {2\,\mathrm {d} t}{1+t^{2}}}.\end{aligned}}$

Приклади

Формула тангенса півкута пов'язує кут з нахилом лінії

Перший приклад

${\begin{aligned}\int \operatorname {cosec} x\,\mathrm {d} x&=\int {\frac {\mathrm {d} x}{\sin x}}&\\&=\int {\frac {\mathrm {d} t}{t}}&t=\operatorname {tg} {\frac {x}{2}}\\&=\ln t+C\\&=\ln \operatorname {tg} {\frac {x}{2}}+C.\end{aligned}}$

Другий приклад: визначений інтеграл

${\begin{aligned}\int _{0}^{2\pi }{\frac {\mathrm {d} x}{2+\cos x}}&=\int _{x=0}^{x=\pi }{\frac {\mathrm {d} x}{2+\cos x}}+\int _{x=\pi }^{x=2\pi }{\frac {\mathrm {d} x}{2+\cos x}}&&\\&=\int _{t=0}^{t=\infty }{\frac {\mathrm {d} x}{2+\cos x}}+\int _{t=-\infty }^{t=0}{\frac {\mathrm {d} x}{2+\cos x}}&t&=\operatorname {tg} {\frac {x}{2}}\\&=\int _{t=-\infty }^{t=\infty }{\frac {\mathrm {d} x}{2+\cos x}}&&\\&=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {2\,\mathrm {d} t}{3+t^{2}}}&&\\&={\frac {2}{\sqrt {3}}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\mathrm {d} u}{1+u^{2}}}&t&=u{\sqrt {3}}\\&={\frac {2\pi }{\sqrt {3}}}.&&\end{aligned}}$

У першому рядку проводять не просто підстановку $t=0$ для обох границь інтегрування. Тут необхідно взяти до уваги особливу точку (у цьому випадку, вертикальну асимптоту) $t=\operatorname {tg} {\frac {x}{2}}$ в $x=\pi$.

Геометрія

Підстановка тангенса півкута параметризує одиничне коло з центром у $(0,\ 0)$. Замість $+\infty$ і $-\infty$, ми маємо лише $\infty$, на обох кінцях дійсної лінії. Це часто допустимо коли працюєш з дійсними та з тригонометричними функціями (це одноточкова компактифікація лінії.

Тоді як x змінюється, точка, $(\cos x,\ \sin x)$ раз за разом проходить одиничне коло з центром у $(0,\ 0)$. Точка

$\left({\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},\ {\frac {2t}{1+t^{2}}}\right)$

тільки один раз проходить коло у міру того як $t$ рухається від $-\infty$ до $+\infty$, і ніколи не досягає точки $(-1,\ 0)$, до якої наближається як до границі коли $t$ наближається до $\pm \infty$. Коли $t$ рухається між $-\infty$ і $-1$, точка визначена від $t$ покриває частину кола в третьому квадранті, від $(-1,\ 0)$ до $(0,\ -1)$.

Ось інша геометрична точка зору. Намалюємо одиничне коло, і нехай P буде точкою $(-1,\ 0)$. Лінія через $P$ (окрім вертикальної лінії) визначена її нахилом. Далі більше, кожна така лінія (окрім вертикальної) перетинає коло саме у двох точках, одна з яких $P$. Це визначає функцію від точки на колі в нахил. Тригонометричні функції визначають функцію від кута в точку на одиничному колі, тепер, сполучаючи ці дві функції, ми маємо функцію від кута в нахил.