Факторкільце

В абстрактній алгебрі фактор-кільце — кільце класів еквівалентності, що будується з деякого кільця $\ R$ за допомогою деякого його ідеалу $\ I$. Позначається $\ R/I$.

Визначення

Нехай R — кільце, а I — деякий його (двосторонній) ідеал. На R можна задати відношення еквівалентності ~:

a~b тоді і тільки тоді, коли $\ b-a \in I$.

Оскільки за означенням ідеал є підгрупою адитивної групи кільця:

• Тоді $\ a-a = 0 \in I$ тобто a~a.
• Якщо $\ b-a \in I$ то також $\ a-b = -(b-a) \in I$, тобто з a~b випливає b~a.
• Якщо $\ b-a \in I$ та $\ c-b \in I$ то також $\ c-a = (c-b)+(b-a) \in I$, тобто з a~b та b~c випливає a~c.

Отже відношення a~b є рефлексивним, симетричним і транзитивним, отже є відношенням еквівалентності.

Нехай

$\,[a] = a + I = \{a+r:r\in I\}$

позначає клас еквівалентності елемента a. Множина класів еквівалентності введеного відношення позначається R/I.

На даній множині можна ввести операції додавання і множення:

$\,[a]+[b]=(a+I)+(b+I)=(a+b)+I=[a+b]$

$\,[a] \cdot [b] = (a+I) \cdot (b+I) = a\cdot b + I = [a\cdot b]$

Дані визначення є несуперечливими, тобто не залежать від вибору представників класу. Дійсно нехай $\ a + I = a_1 + I$ та $\ b + I = b_1 + I$. Тоді $a - a_1 = i \in I$ та $b - b_1 = j \in I$. Звідси $\ a + b = a_1 + b_1 + i +j$ та $\ ab = (a_1 + i)(b_1 + j) = a_1b_1 + ib_1 +a_1j + ij$. Оскільки $\ i+j, ib_1, a_1j, ij \in I$ одержується $\ a + b + I = a_1 + b_1 + i +j + I$ та $\ ab + I = a_1b_1 + I$, що доводить несуперечливість визначення.

Множина визначених класів еквівалентності з визначеними операціями множення і додавання називається фактор-кільцем кільця R по ідеалу I.

Приклади

• Найпростіші приклади фактор-кілець одержуються за допомогою ідеалів {0} і самого кільця R. R/{0} є ізоморфним до R, а R/R є тривіальним кільцем {0}.

• Нехай Z — кільце цілих чисел, а 2Z— кільце парних чисел. Тоді фактор-кільце Z/2Z має лише два елементи, що відповідають множинам парних і непарних чисел. Дане фактор-кільце є ізоморфним полю з двома елементами, F₂. Більш загально можна розглянути фактор-кільце Z/nZ, що є ізоморфним кільцю лишків за модулем n.

• Нехай R[X] кільце многочленів від змінної X з дійсними коефіцієнтами, і ідеал I = (X² + 1) складається з усіх добутків многочлена X² + 1 на інші многочлени. Фактор-кільце R[X]/(X² + 1) є ізоморфним полю комплексних чисел C, і клас еквівалентності [X] відповідає уявній одиниці i.

• Узагальнюючи попередній приклад, фактор-кільце можна використати для побудови розширення поля. Нехай K — деяке поле і f незвідний многочлен в K[X].Тоді L = K[X]/(f) є полем, що містить K.

Властивості

• Якщо R — комутативне кільце то кільце R/I теж є комутативним. Обернене твердження невірне.
• Теорема про гомоморфізм кілець:

Якщо $f$ — епіморфізм (сюр'єктивний гомоморфізм) кільця $\mathrm{K}$ на кільце $\mathrm{R}$, то ядро $\ker\,f$ є ідеалом кільця $\mathrm{K}$, причому кільце $\mathrm{R}$ ізоморфне фактор-кільцю $\mathrm{K}/\ker\,f$.

Навпаки: якщо $\mathrm{J}$ — ідеал кільця $\mathrm{K}$, то відображення $f: \mathrm{K}to\mathrm{K/J}$, визначене умовою $f(a) = a+\mathrm{J}, \forall a \in \mathrm{K}$ є гомоморфізмом кільця $\mathrm{J}$ на $\mathrm{K/J}$ з ядром $\mathrm{J}$.

• Ідеал $\mathrm{J}$ кільця $\mathrm{K}$ є простим (максимальним) в тому і лише у тому випадку, коли фактор-кільце $\mathrm{K/J}$ є областю цілісності(полем).

Див. також

• Фактормножина
• Факторгрупа
• Факторпростір

Посилання

• Фактор-кільце на сайті PlanetMath.

Література

• Ленг С. (1968). Алгебра. Москва: Мир. с. 564. 
• ван дер Варден Б.Л. (1975). Алгебра. Москва: Наука. с. 623. ISBN 5-8114-0552-9. 
• Винберг Э.Б. (2002). Курс алгебры (вид. 3-е). Москва: Факториал Пресс. с. 544. ISBN 5-88688-060-7.