Факторкільце

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

В абстрактній алгебрі фактор-кільце — кільце класів еквівалентності, що будується з деякого кільця \ R за допомогою деякого його ідеалу \ I. Позначається \ R/I.

Визначення[ред.ред. код]

Нехай R — кільце, а I — деякий його (двосторонній) ідеал. На R можна задати відношення еквівалентності ~:

a~b тоді і тільки тоді, коли \ b-a \in I.

Оскільки за означенням ідеал є підгрупою адитивної групи кільця:

  • Тоді \ a-a = 0 \in I тобто a~a.
  • Якщо \ b-a \in I то також \ a-b = -(b-a) \in I, тобто з a~b випливає b~a.
  • Якщо \ b-a \in I та \ c-b \in I то також \ c-a = (c-b)+(b-a) \in I, тобто з a~b та b~c випливає a~c.

Отже відношення a~b є рефлексивним, симетричним і транзитивним, отже є відношенням еквівалентності.

Нехай

\,[a] = a + I = \{a+r:r\in I\}

позначає клас еквівалентності елемента a. Множина класів еквівалентності введеного відношення позначається R/I.

На даній множині можна ввести операції додавання і множення:

\,[a]+[b]=(a+I)+(b+I)=(a+b)+I=[a+b]
\,[a] \cdot [b] = (a+I) \cdot (b+I) = a\cdot b + I = [a\cdot b]

Дані визначення є несуперечливими, тобто не залежать від вибору представників класу. Дійсно нехай \ a + I = a_1 + I та \ b + I = b_1 + I. Тоді a - a_1 = i \in I та b - b_1 = j \in I. Звідси \ a + b = a_1 + b_1 + i +j та \ ab = (a_1 + i)(b_1 + j) = a_1b_1 + ib_1 +a_1j + ij. Оскільки \ i+j, ib_1, a_1j, ij \in I одержується \ a + b + I = a_1 + b_1 + i +j + I та \ ab + I = a_1b_1 + I , що доводить несуперечливість визначення.

Множина визначених класів еквівалентності з визначеними операціями множення і додавання називається фактор-кільцем кільця R по ідеалу I.

Приклади[ред.ред. код]

  • Найпростіші приклади фактор-кілець одержуються за допомогою ідеалів {0} і самого кільця R. R/{0} є ізоморфним до R, а R/R є тривіальним кільцем {0}.
  • Нехай Z — кільце цілих чисел, а 2Z— кільце парних чисел. Тоді фактор-кільце Z/2Z має лише два елементи, що відповідають множинам парних і непарних чисел. Дане фактор-кільце є ізоморфним полю з двома елементами, F2. Більш загально можна розглянути фактор-кільце Z/nZ, що є ізоморфним кільцю лишків за модулем n.
  • Нехай R[X] кільце многочленів від змінної X з дійсними коефіцієнтами, і ідеал I = (X2 + 1) складається з усіх добутків многочлена X2 + 1 на інші многочлени. Фактор-кільце R[X]/(X2 + 1) є ізоморфним полю комплексних чисел C, і клас еквівалентності [X] відповідає уявній одиниці i.

Властивості[ред.ред. код]

  • Якщо R — комутативне кільце то кільце R/I теж є комутативним. Обернене твердження невірне.
  • Теорема про гомоморфізм кілець:
Якщо fепіморфізм (сюр'єктивний гомоморфізм) кільця \mathrm{K} на кільце \mathrm{R}, то ядро \ker\,f є ідеалом кільця \mathrm{K}, причому кільце \mathrm{R} ізоморфне фактор-кільцю \mathrm{K}/\ker\,f.
Навпаки: якщо \mathrm{J} — ідеал кільця \mathrm{K}, то відображення f: \mathrm{K}to\mathrm{K/J}, визначене умовою f(a) = a+\mathrm{J}, \forall a \in \mathrm{K} є гомоморфізмом кільця \mathrm{J} на \mathrm{K/J} з ядром \mathrm{J}.

Див. також[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]