Факторіал
Факторіал натурального числа
— добуток натуральних чисел від одиниці до
включно, позначається
!.
.За означенням
.
При великих
наближене значення факторіала можна обчислити за формулою Стірлінга.
Факторіал
дорівнює кількості перестановок з
елементів.
Зміст |
Факторіали деяких чисел [ред.]
0! = 1
1! = 1
2! = 1·2 = 2
3! = 1·2·3 = 6
4! = 1·2·3·4 = 24
5! = 1·2·3·4·5 = 120
6! = 1·2·3·4·5·6 = 720
7! = 1·2·3·4·5·6·7 = 5040
8! = 1·2·3·4·5·6·7·8 = 40320
9! = 1·2·3·4·5·6·7·8·9 =362880
10! = 1·2·3·4·5·6·7·8·9·10 =3628800
Властивості [ред.]
Рекуррентна формула [ред.]
Комбінаторна інтерпретація [ред.]
В комбинаториці факторіал натурального числа n інтерпретується як кількість перестановок (упорядкування) множини з n елементів. Наприклад, для множини {A, B, C, D} з 4-х елементів існує 4! = 24 перестановки:
ABCD BACD CABD DABC ABDC BADC CADB DACB ACBD BCAD CBAD DBAC ACDB BCDA CBDA DBCA ADBC BDAC CDAB DCAB ADCB BDCA CDBA DCBA
Комбінаторна інтерпретація факторіала слугує обгрунтуванням тотожності 0! = 1, оскільки порожня множина може бути впорядкованою лише одним способом.
Зв'язок з гамма-функцією [ред.]
Факторіал є пов'язаним з гамма-функцією від цілого аргумента співвідношенням:
.Таким чином, гамма-функцію розглядають як узагальнення факторіалу для додатних дійсних чисел. Шляхом аналітичного продовження її також поширюють на всю комплексну площину, виключаючи особливі точки.
Формула Стірлінга [ред.]
Формула Стірлінґа — одна з найвідоміших наближених формул для обчислення факторіала:

В багатьох випадках для наближеного значення факторіала досить розглядати лише головний член формули Стірлінга:

при цьому можна стверджувати, що

Подвійний факторіал [ред.]
Подвійний факторіал числа n позначається n!! і визначається як добуток всіх послідовних парних (якщо n парне) або непарних (якщо n непарне) натуральних чисел до n включно. Таким чином,


За означенням
.

