Факторіал

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Перейти до: навігація, пошук

Факторіал натурального числа n — добуток натуральних чисел від одиниці до n включно, позначається n!.

n! = 1\cdot 2 \cdot \ ... \ \cdot n =\prod_{i=1}^n i.

За означенням 0! = 1.

При великих n наближене значення факторіала можна обчислити за формулою Стірлінга.

Факторіал n дорівнює кількості перестановок з n елементів.

Зміст

[ред.] Факторіали деяких чисел

0! = 1
1! = 1
2! = 1·2 = 2
3! = 1·2·3 = 6
4! = 1·2·3·4 = 24
5! = 1·2·3·4·5 = 120

[ред.] Властивості

[ред.] Зв'язок з гамма-функцією

Факторіал є пов'язаним з гамма-функцією від цілого аргумента співвідношенням:

n! = Γ(n + 1).

Таким чином, гамма-функцію розглядають як узагальнення факторіалу для додатних дійсних чисел. Шляхом аналітичного продовження її також поширюють на всю комплексну площину, виключаючи особливі точки.

[ред.] Формула Стірлінга

Формула Стірлінґа — одна з найвідоміших наближених формул для обчислення факторіала:

n! = \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n \left(1 + \frac{1}{12 n} + \frac{1}{288 n^2} - \frac{139}{51840 n^3}+O\left(n^{-4}\right)\right)

В багатьох випадках для наближеного значення факторіала досить розглядати лише головний член формули Стірлінга:

n! \approx \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n

при цьому можна стверджувати, що

\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n < n! < \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n e^{1/(12n)}

[ред.] Подвійний факторіал

Подвійний факторіал числа n позначається n!! і визначається як добуток всіх послідовних парних (якщо n парне) або непарних (якщо n непарне) натуральних чисел до n включно. Таким чином,

(2k)!! = 2\cdot 4\cdot 6\cdots 2k =\prod_{i=1}^{k} 2i = 2^k k!
(2k-1)!! = 1\cdot 3\cdot 5\cdots (2k-1) = \prod_{i=1}^{k} 2i-1 = \frac{(2k-1)!}{2^k k!}

За означенням 0!! = 1.

[ред.] Дивіться також

Отримано з http://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%B0%D0%BB
Особисті інструменти