Факторіал

Факторіал натурального числа $n$ — добуток натуральних чисел від одиниці до $n$ включно, позначається $n$!.

$n! = 1\cdot 2 \cdot \ ... \ \cdot n =\prod_{i=1}^n i$.

За означенням $0! = 1$.

При великих $n$ наближене значення факторіала можна обчислити за формулою Стірлінга.

Факторіал $n$ дорівнює кількості перестановок з $n$ елементів.

Факторіали деяких чисел

0! = 1
1! = 1
2! = 1·2 = 2
3! = 1·2·3 = 6
4! = 1·2·3·4 = 24
5! = 1·2·3·4·5 = 120
6! = 1·2·3·4·5·6 = 720
7! = 1·2·3·4·5·6·7 = 5040
8! = 1·2·3·4·5·6·7·8 = 40320
9! = 1·2·3·4·5·6·7·8·9 =362880
10! = 1·2·3·4·5·6·7·8·9·10 =3628800

Властивості

Рекуррентна формула

$n!= \begin{cases} 1 & n = 0,\\ n \cdot (n-1)! & n > 0. \end{cases}$

Комбінаторна інтерпретація

В комбинаториці факторіал натурального числа n інтерпретується як кількість перестановок (упорядкування) множини з n елементів. Наприклад, для множини {A, B, C, D} з 4-х елементів існує 4! = 24 перестановки:

ABCD  BACD  CABD  DABC
ABDC  BADC  CADB  DACB
ACBD  BCAD  CBAD  DBAC
ACDB  BCDA  CBDA  DBCA
ADBC  BDAC  CDAB  DCAB
ADCB  BDCA  CDBA  DCBA

Комбінаторна інтерпретація факторіала слугує обгрунтуванням тотожності 0! = 1, оскільки порожня множина може бути впорядкованою лише одним способом.

Зв'язок з гамма-функцією

Факторіал є пов'язаним з гамма-функцією від цілого аргумента співвідношенням:

$n! = \Gamma(n+1)$.

Таким чином, гамма-функцію розглядають як узагальнення факторіалу для додатних дійсних чисел. Шляхом аналітичного продовження її також поширюють на всю комплексну площину, виключаючи особливі точки.

Формула Стірлінга

Формула Стірлінґа — одна з найвідоміших наближених формул для обчислення факторіала:

$n! = \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n \left(1 + \frac{1}{12 n} + \frac{1}{288 n^2} - \frac{139}{51840 n^3}+O\left(n^{-4}\right)\right)$

В багатьох випадках для наближеного значення факторіала досить розглядати лише головний член формули Стірлінга:

$n! \approx \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n$

при цьому можна стверджувати, що

$\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n < n! < \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n e^{1/(12n)}$

Подвійний факторіал

Подвійний факторіал числа n позначається n!! і визначається як добуток всіх послідовних парних (якщо n парне) або непарних (якщо n непарне) натуральних чисел до n включно. Таким чином,

$(2k)!! = 2\cdot 4\cdot 6\cdots 2k =\prod_{i=1}^{k} 2i = 2^k k!$ $(2k-1)!! = 1\cdot 3\cdot 5\cdots (2k-1) = \prod_{i=1}^{k} 2i-1 = \frac{(2k)!}{2^k k!}$

За означенням $0!! = 1$.

Див. також

• Факторизація