Факторіальне кільце

Факторіа́льне кільце́ — область цілісності R, в якій кожен необоротний елемент a представляється у вигляді добутку незвідних елементів a=p₁·...·p_n (n≥1), причому даний розклад єдиний в тому сенсі, що якщо p₁·...·p_n=q₁·...·q_m, то m=n і після перенумерації маємо p_i=u_iq_i для всіх i, де u_i - оборотний елемент кільця R (такі елементи називаються асоційованими). Самі елементи p_i можуть бути теж асоційованими і навіть рівними.

Приклади

• Будь-яке кільце головних ідеалів, зокрема Евклідове кільце є факторіальним кільцем. Зокрема таким прикладом є кільце цілих чисел.
• Довільне поле є, очевидно, факторіальним кільцем, оскільки в ньому немає необоротних елементів.
• Формальні степеневі ряди K[[X₁,...,X_n]] над полем K утворюють факторіальне кільце.
• Кільце $\Z[\sqrt{-5}]$ всіх комплексних чисел виду $a+ib\sqrt{5}$, де a і b — цілі числа не є факторіальним. Наприклад $6 = 2 \cdot 3 = \left(1+i\sqrt{5}\right)\left(1-i\sqrt{5}\right)$. Числа 2, 3, $1+i\sqrt{5}$, і $1-i\sqrt{5}$ не є асоційовані і є незвідними.

Властивості

• У факторіальному кільці довільний незвідний елемент є простим.

• Довільний незвідний елемент факторіального кільця, є простим.

• Якщо R факторіальне кільце, то і кільце многочленів R[x] є факторіальним, звідси випливає, що і кільце R[x₁...x_n] факторіальне.
• Кільце R є факторіальним тоді і тільки тоді коли довільний його простий ідеал містить простий елемент.

Некомутативний випадок

Хоч термін «Факторіальне кільце» використовується переважно для комутативних кілець, подане вище означення можна узагальнити для некомутативного випадку.

Нехай R — деяке кільце, що не має дільників нуля. Дане кільце називається факторіальним, якщо довільний необоротний елемент a представляється у вигляді добутку незвідних елементів a=p₁.p_n (n≥1) причому даний розклад єдиний в тому сенсі, що якщо p₁·...·p_n=q₁·...·q_m, то m=n і після перенумерації маємо, що фактор-кільця $R/p_iR$ і $R/q_iR$ є ізоморфними.

Приклад

Множина кватерніонів a = a₀ + a₁i + a₂j + a₃k, де a₀,a₁, a₂,a₃ цілі числа або непарні цілі числа поділені на 2 є некомутативним факторіальним кільцем.

Література

• ван дер Варден Б.Л. (1975). Алгебра. Москва: Наука. с. 623. ISBN 5-8114-0552-9. 
• Ленг С. (1968). Алгебра. Москва: Мир. с. 564. 
• Зарисский О., Самюэль П. (1963). Коммутативная алгебра. том I. Москва: ИЛ. с. 373. 
• David Sharpe (1987). Rings and factorization. Cambridge University Press. ISBN 0-521-33718-6.
• R. Sivaramakrishnan (2006). Certain number-theoretic episodes in algebra. CRC Press. ISBN 0-8247-5895-1