Факторпростір

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Фактор-простір — простір класів еквівалентності топологічного простору за заданим відношенням еквівалентності.

Визначення[ред.ред. код]

Якщо на множині \ S введено відношення еквівалентності ~, тоді множина всіх класів еквівалентності називається фактормножиною і позначається S/\!\sim. Розбиття множини на класи еквівалентних елементів називається факторизацією.

Фактор-простір векторного простору по підпростору[ред.ред. код]

В лінійній алгебрі фактор-простір векторного простору V по підпростору N є векторний простір отриманий "стисненням" N в нуль. Отриманий простір позначається V/N.

Приклади[ред.ред. код]

Факторизацію множини розумно застосовувати для отримання нормованих просторів із напівнормованих, просторів зі скалярним добутком із просторів з майже скалярним добутком тощо. Для цього вводиться відповідно норма класу, що рівна нормі довільного його елементу, і скалярний добуток класів як скалярний добуток довільних елементів класів. У свою чергу співвідношення еквівалентностей вводиться таким чином (наприклад для утворення нормованого факторпростору): вводиться підмножина початкового напівнормованого простору, що складається з елементів з нульовою напівнормою (до речі, воно лінійне, тобто є підпростором) і вважається, що два елементи еквівалентні, якщо різниця їх належить цьому самому підпростору.

Якщо для факторізації лінійного простору вводитися деякий його підпростір і вважається, що якщо різниця двох елементів простору належить цьому підпростору, то ці елементи еквівалентні, то фактормножина є лінійним простором і називається факторпростором.

Дивись також[ред.ред. код]