Фермі-газ

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Фермі газ (або ідеальний газ Фермі-Дірака) - газ, що складається із часток, які задовільняють статистиці Фермі- Дірака, мають малу масу та високу концентрацію. Наприклад, електрони в металі. В першому наближенні можна вважати що потенціал, який діє на електрони в металі, є постійною величиною і завдяки сильному екрануванню позитивно заряженими іонами можна знехтувати електростатичним відштовхуванням між електронами. Тоді електрони металу можна розглядати як ідеальний газ Фермі-Дірака.

Зміст

1 Газ Фермі-Дірака при нульовій температурі
2 Газ Фермі- Дірака при скінченній температурі
3 Дивись також
4 Література
5 Посилання

[ред.] Газ Фермі-Дірака при нульовій температурі

Найнижча енергія класичного газу (або газу Бозе-Ейнштейна) при $T = 0$ дорівнює $W 0 = 0$ . Тобто при нульовій температурі всі частинки падають в найнижчий стан і втрачають всю свою кінетичну енергію. Проте для газу Фермі це неможливо. Принцип виключення Паулі дозволяє знаходитися в одному стані тільки двом фермі- часткам із напівцілим спіном. Найнижчу енергію газу $W 0$ із $N$ частинок можна отримати, шляхом розміщення по одній частці в кожний із $N$ квантових станів з найнижчою енергією. Тому енергія $W 0$ такого газу при $T = 0$ буде відмінною від нуля.

Величину $W 0$ не важко обчислити. Позначивши через $μ 0$ енергію електрона в найвищому квантовому стані, котре ще заповнене при $T = 0$ . При нульовій температурі всі квантові стани з енергією нижче $μ 0$ зайняті, а всі квантові стани з енергією вище $μ 0$ - вільні. Тому повинно існувати точно $N$ станів з енергією нижче або рівній $μ 0$ . Цієї умови достатньо для знаходження $μ 0$ . Оскільки об'єм є мікроскопічним, тому трансляційні стани лежать близько один до одного в імпульсному просторі і ми можемо замініти сумування по трансляційним квантовим станам $\mathbf{k}$ інтегруванням по класичному фазовому просторі, поділивши попередньо на $h 3$ :

$\frac{g}{h^3}\iint_{}^{} 4\pi p^2\, dr\,dp = V\frac{g}{h^3}\int_{}^{} 4\pi p^2\, dp$

де $g - \$ число внутрішніх квантових станів, які відповідають внутрішній енергії. Число $g = 2 \$ , для електронів зі спіном 1/2. Інтегруючи останній вираз від $p = 0$ до значення $p 0$ , визначеного як величина імпульсу найвищого заповненого при $T = 0$ стану з енергією $\mu_0 = (2m)^{-1}p_0^2$ , та прирівнюючи результат до $N$ , отримуємо із врахуванням того, що $ρ = N / V$ :

$N = V\frac{g}{h^3}\frac{4\pi }{3}p_0^3 = V\frac{g}{h^3}\frac{4\pi }{3}(2m\mu_0)^{2/3}$

$p_0 = (\frac{3}{4\pi g\rho})^{1/3}h$

$\mu_0 = \frac{p_0^2}{2m} = \frac{h^2}{2m}(\frac{3}{4\pi g\rho })^{2/3}$

або для електронів з $g = 2 \$ :

$\mu_0 = \frac{h^2}{8m}(\frac{3\rho}{\pi })^{2/3}, g = 2$

Величину $μ 0$ , найвищу енергію заповнених рівнів, називають енергією Фермі.

[ред.] Газ Фермі- Дірака при скінченній температурі

Для ненульових значень параметра $β = 1 / k T$ густину числа електронів $N (ε)$ в енергетичному просторі знаходимо шляхом множення квантової густини станів

$\frac{3}{2}N/\mu_0^{-3/2} \int_{}^{}\epsilon^{1/2} \,d\epsilon$

на множник $\frac{1}{1 + \exp [\beta (\epsilon - \mu)]}$ , який дає число електронів на один квантовий стан:

$N(\epsilon) = \frac{3}{2}N/\mu_0^{-3/2}\frac{1}{1 + \exp [\beta (\epsilon - \mu)]}$

де величина $μ 0$ є хімічний потенціал при $T = 0$ , а $μ$ - хімічний потенціал при даній температурі.

Якщо проінтегрувати дану функцію по всім значенням $ε$ , то ми можемо визначити $μ$ як функцію від температури. Прирівнюючи результат, що входить до $\int_{0}^{\infty} N(\epsilon)\, d\epsilon$ повного числа частинок $N$ . Звідси видно, що для $N (ε)$ величина $m u$ є функція параметрів $m u 0$ та $β$ .

Енергію можна знайти із співвідношення:

$W = \int_{0}^{\infty } \epsilon N(\epsilon)\, d\epsilon$ ,

звідки видно, що тут ми зустрічаємося із задачею знаходження інтегралу типу:

$I = \int_{0}^{\infty } f(\epsilon) g(\epsilon)\, d\epsilon$ ,

в якому функція $f (ε)$ є деяка проста та неперервна функція від $ε$ , наприклад $ε 1 / 2$ або $ε 3 / 2$ , та

$g(\epsilon) = \frac{1}{1 + \exp [\beta (\epsilon - \mu)]}$ .

Слід відзначити, що величина $μ 0 / k$ має порядок від $5\cdot 10^4$ до $105$ К для більшості металів.

пропускаючи досить громіздкі математичні викладки, в результаті будемо мати наближене значення хімічного потенціалу:

$\mu = \mu_0[1 - \frac{\pi^2}{12}(\beta \mu_0)^{-2} - \frac{\pi^4}{80}(\beta \mu_0)^{-4} +...]$ ,

яке виражає хімічний потенціал $μ$ через параметри $β$ та $μ 0$ - хімічний потенціал при $T = 0$ . Тут слід відзначити, що ця залежність не є дуже сильна, наприклад для кімнатних температур перша добавка складає $(\beta \mu_0)^{-2} \approx 10^{-4}$ , що є достатньо мала величина. Тому на практиці, при кімнатних температурах хімічний потенціал практично співрадає з потенціалом Фермі.

[ред.] Дивись також

[ред.] Література

Майер Дж., Гепперт- Майер М. Статистическая механика, 2-е изд. перераб., М.:Мир, 1980.-544с.

[ред.] Посилання

Фермі-газ

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Зміст

[ред.] Газ Фермі-Дірака при нульовій температурі

[ред.] Газ Фермі- Дірака при скінченній температурі

[ред.] Дивись також

[ред.] Література

[ред.] Посилання

Перегляди

Особисті інструменти

Навігація

Участь

Пошук

Панель інструментів

Іншими мовами