Фермі-газ

Фермі-газ (або ідеальний газ Фермі—Дірака) - газ, що складається з ферміонів, частинок, які підпорядковуються статистиці Фермі—Дірака. Наприклад, електрони в металі. У першому наближенні можна вважати що потенціал, який діє на електрони в металі, є постійною величиною і завдяки сильному екрануванню позитивно зарядженими іонами можна знехтувати електростатичним відштовхуванням між електронами. Тоді електрони металу можна розглядати як ідеальний газ Фермі-Дірака.

Газ Фермі—Дірака при нульовій температурі

Найнижча енергія класичного газу (або газу Бозе-Ейнштейна) при $T = 0$ дорівнює $W_0 = 0$. Тобто, при нульовій температурі всі частинки «падають» у найнижчий стан і втрачають кінетичну енергію. Проте для газу Фермі це неможливо. Принцип виключення Паулі дозволяє перебувати в одному стані тільки двом ферміонам із різними спінами. Найнижчу енергію газу $W_0$ із $N$ частинок можна отримати, шляхом розташування по дві частинки в кожен із $N$ квантових станів із найнижчою можливою енергією. Тому енергія $W_0$ такого газу при $T = 0$ буде відмінною від нуля.

Величину $W_0$ не важко обчислити. Позначивши через $\mu_0$ енергію електрона в найвищому квантовому стані, котрий ще заповнено при $T = 0$. При нульовій температурі всі квантові стани з енергією нижче $\mu_0$ буде зайнято, а всі квантові стани з енергією вище $\mu_0$ будуть вільними. Тому повинно існувати точно $N$ станів з енергією нижче або рівній $\mu_0$. Цієї умови достатньо для знаходження $\mu_0$. Оскільки об'єм є мікроскопічним, тому трансляційні стани лежать близько один до одного в імпульсному просторі, і ми можемо замінити сумування по трансляційним квантовим станам $\mathbf{k}$ інтегруванням по класичному фазовому просторі, поділивши попередньо на $h^3$:

$\frac{g}{h^3}\iint_{}^{} 4\pi p^2\, dr\,dp = V\frac{g}{h^3}\int_{}^{} 4\pi p^2\, dp$

де $g - \$ число внутрішніх квантових станів, які відповідають внутрішній енергії. Число $g = 2 \$, для електронів зі спіном 1/2. Інтегруючи останній вираз від $p = 0$ до значення $p_0$, визначеного як величина імпульсу найвищого заповненого при $T = 0$ стану з енергією $\mu_0 = (2m)^{-1}p_0^2$, та прирівнюючи результат до $N$, отримуємо із врахуванням того, що $\rho = N/V$:

$N = V\frac{g}{h^3}\frac{4\pi }{3}p_0^3 = V\frac{g}{h^3}\frac{4\pi }{3}(2m\mu_0)^{2/3}$

$p_0 = (\frac{3}{4\pi g\rho})^{1/3}h$

$\mu_0 = \frac{p_0^2}{2m} = \frac{h^2}{2m}(\frac{3}{4\pi g\rho })^{2/3}$

або для електронів з $g = 2 \$:

$\mu_0 = \frac{h^2}{8m}(\frac{3\rho}{\pi })^{2/3}, g = 2$

Величину $\mu_0$, найвищу енергію заповнених рівнів, називають енергією Фермі.

Газ Фермі—Дірака при скінченній температурі

Для ненульових значень параметра $\beta = 1/kT$ густину числа електронів $N(\epsilon )$ в енергетичному просторі знаходимо шляхом множення квантової густини станів

$\frac{3}{2}N/\mu_0^{-3/2} \int_{}^{}\epsilon^{1/2} \,d\epsilon$

на множник $\frac{1}{1 + \exp [\beta (\epsilon - \mu)]}$, який дає число електронів на один квантовий стан:

$N(\epsilon) = \frac{3}{2}N/\mu_0^{-3/2}\frac{1}{1 + \exp [\beta (\epsilon - \mu)]}$

де величина $\mu_0$ є хімічний потенціал при $T = 0$, а $\mu$- хімічний потенціал при даній температурі.

Якщо проінтегрувати цю функцію по всім значенням $\epsilon$, то ми можемо визначити $\mu$ як функцію від температури. Прирівнюючи результат, що входить до $\int_{0}^{\infty} N(\epsilon)\, d\epsilon$ повного числа частинок $N$. Звідси видно, що для $N(\epsilon)$ величина $mu$ є функція параметрів $mu_0$ та $\beta$.

Енергію можна знайти із співвідношення:

$W = \int_{0}^{\infty } \epsilon N(\epsilon)\, d\epsilon$,

звідки видно, що тут ми зустрічаємося із задачею знаходження інтегралу типу:

$I = \int_{0}^{\infty } f(\epsilon) g(\epsilon)\, d\epsilon$,

в якому функція $f(\epsilon)$ є деяка проста та неперервна функція від $\epsilon$, наприклад $\epsilon^{1/2}$ або $\epsilon^{3/2}$, та

$g(\epsilon) = \frac{1}{1 + \exp [\beta (\epsilon - \mu)]}$.

Слід відзначити, що для більшості металів величина $\mu_0/k$ має порядок від $5\cdot 10^4$ до $10^5$ К.

Пропускаючи досить громіздкі математичні викладки, в результаті будемо мати наближене значення хімічного потенціалу:

$\mu = \mu_0[1 - \frac{\pi^2}{12}(\beta \mu_0)^{-2} - \frac{\pi^4}{80}(\beta \mu_0)^{-4} +...]$,

яке виражає хімічний потенціал $\mu$ через параметри $\beta$ та $\mu_0$- хімічний потенціал при $T = 0$. Тут слід відзначити, що ця залежність не є дуже сильна, наприклад для кімнатних температур перша добавка складає $(\beta \mu_0)^{-2} \approx 10^{-4}$, що є досить мала величина. Тому на практиці, при кімнатних температурах хімічний потенціал практично збігається з потенціалом Фермі.

Дивись також

• Енергія Фермі
• Рівень Фермі

Література

• Майер Дж., Гепперт- Майер М. Статистическая механика, 2-е изд. перераб., М.:Мир, 1980.-544с.

Посилання

• A Fermi gas of atoms - physicsworld.com Apr 4, 2002
• Seiringer, Robert -; The Thermodynamic Pressure of a Dilute Fermi Gas - Commun. Math. Phys. 261, 729-758 (2006)
• Fermi gas goes superfluid - physicsworld.com Jul 22, 2004