Фермі-газ

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Фермі-газ (або ідеальний газ Фермі—Дірака) - газ, що складається з ферміонів, частинок, які підпорядковуються статистиці Фермі—Дірака. Наприклад, електрони в металі. У першому наближенні можна вважати що потенціал, який діє на електрони в металі, є постійною величиною і завдяки сильному екрануванню позитивно зарядженими іонами можна знехтувати електростатичним відштовхуванням між електронами. Тоді електрони металу можна розглядати як ідеальний газ Фермі-Дірака.

Газ Фермі—Дірака при нульовій температурі[ред.ред. код]

Найнижча енергія класичного газу (або газу Бозе-Ейнштейна) при T = 0 дорівнює W_0 = 0. Тобто, при нульовій температурі всі частинки «падають» у найнижчий стан і втрачають кінетичну енергію. Проте для газу Фермі це неможливо. Принцип виключення Паулі дозволяє перебувати в одному стані тільки двом ферміонам із різними спінами. Найнижчу енергію газу W_0 із N частинок можна отримати, шляхом розташування по дві частинки в кожен із N квантових станів із найнижчою можливою енергією. Тому енергія W_0 такого газу при T = 0 буде відмінною від нуля.

Величину W_0 не важко обчислити. Позначивши через \mu_0 енергію електрона в найвищому квантовому стані, котрий ще заповнено при T = 0 . При нульовій температурі всі квантові стани з енергією нижче \mu_0 буде зайнято, а всі квантові стани з енергією вище \mu_0 будуть вільними. Тому повинно існувати точно N станів з енергією нижче або рівній \mu_0 . Цієї умови достатньо для знаходження \mu_0 . Оскільки об'єм є мікроскопічним, тому трансляційні стани лежать близько один до одного в імпульсному просторі, і ми можемо замінити сумування по трансляційним квантовим станам \mathbf{k} інтегруванням по класичному фазовому просторі, поділивши попередньо на h^3 :

\frac{g}{h^3}\iint_{}^{} 4\pi p^2\, dr\,dp = V\frac{g}{h^3}\int_{}^{} 4\pi p^2\, dp

де g - \ число внутрішніх квантових станів, які відповідають внутрішній енергії. Число g = 2 \ , для електронів зі спіном 1/2. Інтегруючи останній вираз від p = 0 до значення p_0 , визначеного як величина імпульсу найвищого заповненого при T = 0 стану з енергією \mu_0 = (2m)^{-1}p_0^2 , та прирівнюючи результат до N , отримуємо із врахуванням того, що \rho = N/V :

N = V\frac{g}{h^3}\frac{4\pi }{3}p_0^3 = V\frac{g}{h^3}\frac{4\pi }{3}(2m\mu_0)^{2/3}
p_0 = (\frac{3}{4\pi g\rho})^{1/3}h
\mu_0 = \frac{p_0^2}{2m} = \frac{h^2}{2m}(\frac{3}{4\pi g\rho })^{2/3}

або для електронів з g = 2 \ :

\mu_0 = \frac{h^2}{8m}(\frac{3\rho}{\pi })^{2/3}, g = 2

Величину \mu_0 , найвищу енергію заповнених рівнів, називають енергією Фермі.

Газ Фермі—Дірака при скінченній температурі[ред.ред. код]

Для ненульових значень параметра \beta = 1/kT густину числа електронів N(\epsilon ) в енергетичному просторі знаходимо шляхом множення квантової густини станів

\frac{3}{2}N/\mu_0^{-3/2} \int_{}^{}\epsilon^{1/2} \,d\epsilon

на множник \frac{1}{1 + \exp [\beta (\epsilon - \mu)]} , який дає число електронів на один квантовий стан:

N(\epsilon) = \frac{3}{2}N/\mu_0^{-3/2}\frac{1}{1 + \exp [\beta (\epsilon - \mu)]}

де величина \mu_0 є хімічний потенціал при T = 0 , а \mu - хімічний потенціал при даній температурі.

Якщо проінтегрувати цю функцію по всім значенням \epsilon , то ми можемо визначити \mu як функцію від температури. Прирівнюючи результат, що входить до \int_{0}^{\infty} N(\epsilon)\, d\epsilon повного числа частинок N . Звідси видно, що для N(\epsilon) величина mu є функція параметрів mu_0 та \beta .

Енергію можна знайти із співвідношення:

W = \int_{0}^{\infty } \epsilon N(\epsilon)\, d\epsilon ,

звідки видно, що тут ми зустрічаємося із задачею знаходження інтегралу типу:

I = \int_{0}^{\infty } f(\epsilon) g(\epsilon)\, d\epsilon ,

в якому функція f(\epsilon) є деяка проста та неперервна функція від \epsilon , наприклад \epsilon^{1/2} або \epsilon^{3/2} , та

g(\epsilon) = \frac{1}{1 + \exp [\beta (\epsilon - \mu)]}.

Слід відзначити, що для більшості металів величина \mu_0/k має порядок від 5\cdot 10^4 до 10^5 К.

Пропускаючи досить громіздкі математичні викладки, в результаті будемо мати наближене значення хімічного потенціалу:

\mu = \mu_0[1 - \frac{\pi^2}{12}(\beta \mu_0)^{-2} - \frac{\pi^4}{80}(\beta \mu_0)^{-4} +...] ,

яке виражає хімічний потенціал \mu через параметри \beta та \mu_0 - хімічний потенціал при T = 0 . Тут слід відзначити, що ця залежність не є дуже сильна, наприклад для кімнатних температур перша добавка складає (\beta \mu_0)^{-2} \approx 10^{-4}, що є досить мала величина. Тому на практиці, при кімнатних температурах хімічний потенціал практично збігається з потенціалом Фермі.

Дивись також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • Майер Дж., Гепперт- Майер М. Статистическая механика, 2-е изд. перераб., М.:Мир, 1980.-544с.

Посилання[ред.ред. код]