Формальний степеневий ряд

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Формальний степеневий ряд — формальний алгебраїчний вираз виду:

F(X) = \sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nX^n,

в якому коефіцієнти {a_n} належать деякому кільцю {R}. На відміну від степеневих рядів у аналізі формальним степеневим рядам не надається числових значень і відповідно не має змісту збіжність таких рядів для числових аргументів. Формальні степеневі ряди досліджуються у алгебрі, топології, комбінаториці.

Алгебраїчні операції[ред.ред. код]

В R[[X]] можна наступним чином визначити додавання, множення, формальне диференціювання і формальну суперпозицію. Нехай:

F(X) = \sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nX^n, \qquad G(X) = \sum\limits_{n=0}^{\infty}b_nX^n, \qquad H(X) = \sum\limits_{n=0}^{\infty}c_nX^n.

Тоді:

H = F + G \iff \forall n \, c_n = a_n + b_n
H = F \,\cdot\, G \iff \forall n \, c_n = \sum\limits_{k+l=n}a_k b_l
H = F \circ G \iff \forall n \, c_n = \sum\limits_{s=1}^n a_s \sum\limits_{k_1+\dots+k_s=n}b_{k_1}b_{k_2}\dots b_{k_s} (при цьому необхідно щоб b_0=0)
H = F' \iff \forall n \, c_n = (n+1)a_{n+1}

Таким чином формальні степеневі ряди утворюють кільце.

Топологія[ред.ред. код]

В множині R[[X]] також можна задати топологію, що породжується наступною метрикою:

d((a_n), (b_n)) = 2^{-k},\,\!
де k найменше натуральне число таке що akbk;

Можна довести, що визначені множення і додавання в цій топології є неперервними, отже формальні степеневі ряди з визначеною топологією утворюють топологічне кільце.

Оборотні елементи[ред.ред. код]

Формальний ряд:

\sum_{n=0}^\infty a_n X^n

в R[[X]] є оборотним в R[[X]] тоді і лише тоді коли a0 є оборотним в R. Це є необхідним оскільки вільний член добутку рівний a_0b_0, і достатнім, оскільки коефіцієнти тоді визначаються за формулою:

\begin{align}b_0 &= \frac{1}{a_0}\\
b_n &= -\frac{1}{a_0} \sum_{i=1}^n a_i b_{n-i}\qquad \text{for } n \ge 1.
\end{align}

Властивості[ред.ред. код]

Див. також[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]