Формальний степеневий ряд

Формальний степеневий ряд — формальний алгебраїчний вираз виду:

$F(X) = \sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nX^n,$

в якому коефіцієнти ${a_n}$ належать деякому кільцю ${R}$. На відміну від степеневих рядів у аналізі формальним степеневим рядам не надається числових значень і відповідно не має змісту збіжність таких рядів для числових аргументів. Формальні степеневі ряди досліджуються у алгебрі, топології, комбінаториці.

Алгебраїчні операції

В $R[[X]]$ можна наступним чином визначити додавання, множення, формальне диференціювання і формальну суперпозицію. Нехай:

$F(X) = \sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nX^n, \qquad G(X) = \sum\limits_{n=0}^{\infty}b_nX^n, \qquad H(X) = \sum\limits_{n=0}^{\infty}c_nX^n.$

Тоді:

$H = F + G \iff \forall n \, c_n = a_n + b_n$

$H = F \,\cdot\, G \iff \forall n \, c_n = \sum\limits_{k+l=n}a_k b_l$

$H = F \circ G \iff \forall n \, c_n = \sum\limits_{s=1}^n a_s \sum\limits_{k_1+\dots+k_s=n}b_{k_1}b_{k_2}\dots b_{k_s}$ (при цьому необхідно щоб $b_0=0$)

$H = F' \iff \forall n \, c_n = (n+1)a_{n+1}$

Таким чином формальні степеневі ряди утворюють кільце.

Топологія

В множині $R[[X]]$ також можна задати топологію, що породжується наступною метрикою:

$d((a_n), (b_n)) = 2^{-k},\,\!$

де k найменше натуральне число таке що a_k ≠ b_k;

Можна довести, що визначені множення і додавання в цій топології є неперервними, отже формальні степеневі ряди з визначеною топологією утворюють топологічне кільце.

Оборотні елементи

Формальний ряд:

$\sum_{n=0}^\infty a_n X^n$

в R[[X]] є оборотним в R[[X]] тоді і лише тоді коли a₀ є оборотним в R. Це є необхідним оскільки вільний член добутку рівний $a_0b_0$, і достатнім, оскільки коефіцієнти тоді визначаються за формулою:

$\begin{align}b_0 &= \frac{1}{a_0}\\ b_n &= -\frac{1}{a_0} \sum_{i=1}^n a_i b_{n-i}\qquad \text{for } n \ge 1. \end{align}$

Властивості

• Максимальними ідеалами кільця формальних степеневих рядів є ідеали M для яких M ∩ R є максимальним ідеалом в R і M є породжене X і M ∩ R.
• Якщо R є локальним кільцем, то локальним кільцем є також R[[X]]
• R — кільце Нетер, то також R[[X]] є кільцем Нетер .
• Якщо R — область цілісності, то R[[X]] також буде областю цілісності.
• Метричний простір (R[[X]], d) є повним.
• Кільце R[[X]] є компактним тоді коли кільце R є скінченним.

Див. також

• Степеневий ряд
• Генератриса

Посилання

• Формальні степеневі ряди на сайті PlanetMath.