Формула Біне — Коші

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Формула Біне — Коші — теорема про визначник добутку прямокутних матриць (при умові, що добуток є квадратною матрицею).

Добуток прямокутних матриць \ A та \ B є квадратною матрицею розміру \ m, якщо \ A має \ n стовпців та \ m рядків, а \ B — навпаки.

Мінори матриць \ A та \ B порядку рівного меншому з чисел \ n та \ m називаються відповідними один одному, якщо номера стовпців в матриці \ A одинакові з номерами рядків в матриці \ B.

Теорема[ред.ред. код]

Визначник матриці AB\, рівний нулю, якщо \ n < m, або дорівнює сумі попарних добутків відповідних мінорів порядку \ m, якщо n\geqslant m (сумма береться по всім наборам стовпців матриці \ A та рядків матриці \ B зі зростаючими номерами \ i_1<i_2<\ldots<i_m).

Приклад[ред.ред. код]

Нехай


A=\left(\begin{matrix}
a_1 & a_2 & \ldots & a_n \\
b_1 & b_2 & \ldots & b_n \\
\end{matrix}\right), \quad

B =\left(\begin{matrix}
a_1 & b_1 \\
a_2 & b_2 \\
\vdots & \vdots \\
a_n & b_n \\
\end{matrix}\right).

Тоді

A\,B=\left(\begin{matrix}
a_1^2+a_2^2+\ldots+a_n^2 & a_1b_1+a_2b_2+\ldots+a_nb_n \\
a_1b_1+a_2b_2+\ldots+a_nb_n & b_1^2+b_2^2+\ldots+b_n^2 \\
\end{matrix}\right),

і відповідні мінори мають вигляд

\left|\begin{matrix}
a_i & b_i \\
a_j & b_j \\
\end{matrix}\right|

для всіх i<j, від 1 до n.

Формула Біне — Коші в даному прикладі дає рівність

(a_1^2+a_2^2+\ldots+a_n^2) (b_1^2+b_2^2+\ldots+b_n^2) - (a_1b_1+a_2b_2+\ldots+a_nb_n)^2 = \sum_{i<j}(a_ib_j-a_jb_i)^2,

із якої (у випадку дійсних чисел) випливає нерівність Коші — Буняковського:

(a_1^2+a_2^2+\ldots+a_n^2) (b_1^2+b_2^2+\ldots+b_n^2) \geqslant (a_1b_1+a_2b_2+\ldots+a_nb_n)^2.

Джерела[ред.ред. код]