Формула Гауса — Бонне

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Формула Гауса—Бонне пов'язує Ейлерову характеристику області двовимірного многовида з кривиною Гауса в цій області та геодезичною кривиною кривої, яка обмежує область.

Формулювання[ред.ред. код]

Нехай \Omega — компактний двовимірний орієнтований ріманів многовид з гладкою межею \partial \Omega. Позначимо через K гаусову кривину \Omega та через k_g геодезичну кривину \partial \Omega. Тоді

(1) \qquad \iint_{\Omega} K d \sigma + \oint_L k_g d s  = 2 \pi \chi(\Omega)

де \chi(\Omega) — ейлерова характеристика \Omega.

Зокрема, якщо у \Omega межа відсутня, отримуємо спрощений вираз

\int\limits_\Omega K\;d\sigma=2\pi\chi(\Omega)

Якщо поверхня деформується, то її ейлерова характеристика не змінюється, в той час як гаусова кривина може змінюватися в кожній точці. Проте, згідно з формулою Гауса-Бонне, інтеграл гаусової кривини залишається не змінним.

Пояснення позначень[ред.ред. код]

Топологія областей інтегрування[ред.ред. код]

Область \Omega обмежена. Але вона може бути доволі складною, мати одну або кілька компонент зв'язності:

(2) \qquad \Omega = \Omega_1 + \Omega_2 + \dots

Очевидно, що при цьому перший інтеграл в формулі (1) розбивається на суму інтегралів по компонентах. Кожна з цих компонент \Omega_i в свою чергу може бути топологічно складною.

Gauss-Bonnet theorem.svg

Зокрема область \Omega може повністю покривати замкнутий многовид (наприклад сферу, тор, …) і не мати межі зовсім — тоді другого інтеграла в формулі (1) не буде:

(3) \qquad  \iint_{\Omega} K d \sigma  = 2 \pi \chi(\Omega)

В інших випадках межа L_i області \Omega_i може складатися з одного контура (наприклад якщо область гомеоморфна кругу), або більшої кількості контурів L_{ij} (наприклад якщо область є кільцем між двома концентричними колами):

(4) \qquad L_i = \sum_j L_{ij}

В цих випадках інтеграл по межі L також розбивається на суму інтегралів по L_{ij}.

Кривини[ред.ред. код]

Буквою K під першим інтегралом (1) позначено кривиною Гауса другого степеня, яка для двовимірного многовида дорівнює половині скалярної кривини:

(5) \qquad K = K^{[2]} = {R \over 2}

Геодезична кривина \mathbf{k}_g кривої взагалі кажучи є вектором, ортогональним до одиничного дотичного вектора \boldsymbol{\tau} = {d \mathbf{r} \over d s}, і який лежить у многовиді. Але в формулі (1) через k_g позначено скалярну величину — проекцію вектора геодезичної кривини на напрям нормалі, напрямленої всередину області \Omega.

Запишемо вищесказане математично. Компоненти вектора геодезичної кривини обчислюються через тензорну похідну одиничного дотичного вектора \tau^i по натуральному параметру кривої:

(6) \qquad k_g^i = {D \tau^i \over D s} = {d \tau^i \over d s} + \Gamma^i_{jk} \tau^j \tau^k

Нормаль до вектора \tau^i можна утворити дією одиничного антисиметричного тензора \varepsilon^{ij}, а тому (при належному виборі напрямку обходу контура):

(7) \qquad k_g^i = k_g \varepsilon^{ij} \tau_j

Коефіцієнт k_g в правій частині формули (7) той самий, який стоїть під другим інтегралом в формулі (1).

Злами на контурах[ред.ред. код]

В попередньому підпункті ми розглядали гладкий контур L. Але неважко, використовуючи граничний перехід, узагальнити формулу (1) для кусково-гладкої межі яка складається з гладких дуг, що сходяться під деяким кутом між собою (дивіться наприклад статтю Геодезичний трикутник). Якщо в точці зламу P_i дотичний вектор \boldsymbol{\tau} розвертається на кут \phi_i в сторону області \Omega (може бути додатне чи від'ємне число) то формула (1) узагальнюється до такої:

(8) \qquad \iint_{\Omega} K d \sigma + \oint_L k_g d s + \sum_i \phi_i = 2 \pi \chi(\Omega)

В цій формулі другий інтеграл береться по гладких ділянках дуг межі L.

Для виводу формули (8) область \Omega, яка має злами на межі, треба апроксимувати областю \tilde\Omega, яка має згладжені кути. Потім радіус закруглення на кутах спрямовуємо до нуля.

Ейлерова характеристика[ред.ред. код]

Обмежену двовимірну область \Omega можна розбити лініями на кілька менших підобластей \Omega_1, \, \Omega_2, \dots, гомеоморфних кругу. Лінії в свою чергу можна поділити точками на дуги, гомеоморфні відрізку. Якщо позначити кількість точок буквою B (вершини графа), кількість дуг буквою P (ребра графа), а кількість підобластей буквою \Gamma (грані), то наступне ціле число:

(9) \qquad \chi = B - P + \Gamma

не залежить від способу розбивки області \Omega і називається характеристикою Ейлера. Для кожної підобласті \Omega_k можна знайти карту (систему координат \{u^1,\, u^2 \}), яка відображає область Евклідової площини в \Omega_k.

Три етапи доведення теореми Гауса-Бонне[ред.ред. код]

На першому етапі доводимо теорему для простої області, гомеоморфної кругу, з гладкою границею. На другому етапі граничним переходом поширюємо теорему на просту область з кутами. На третьому (топологічному) етапі об'єднуємо та склеюємо прості області в довільну область і показуємо, що при операціях об'єднання та склейки формула (1) залишається справедливою.

Перший етап доведення[ред.ред. код]

Обчислення характеристики Ейлера[ред.ред. код]

Обчислимо характеристику Ейлера для простої області \Omega. Межа цієї області є контуром L, гомеоморфним колу. Поставимо на цьому контурі дві точки P і Q, які розбивають наш контур на дві дуги, гомеоморфні відрізку. Маємо дві вершини, два ребра і одну грань — саму область \Omega, тому за формулою (9) маємо:

(10) \qquad \chi = B - P + \Gamma = 2 - 2 + 1 = 1

і нам треба довести наступну формулу для цього випадку:

(11) \qquad \iint_{\Omega} K d \sigma + \oint_L k_g d s  = 2 \pi

Вектори на контурі[ред.ред. код]

Паралельний обхід контура вектором v

Візьмемо точку P на контурі L. Позначимо буквою \mathbf{n} вектор нормалі до контура, напрямлений всередину області \Omega. При належному виборі напрямку обходу контура компоненти цього вектора виражаються через дотичний вектор \tau^i та одиничний антисиметричний тензор \varepsilon_{ij}:

(12) \qquad n_i = \varepsilon_{ij} \tau^j

При обході контура, очевидно, вектори \mathbf{n} і \boldsymbol{\tau} повернуться на кут 2 \pi і збіжаться з початковими значеннями цих векторів.

Щоб простежити, як здійснюється цей поворот, розглянемо паралельне перенесення векторів. Як відомо, при паралельному перенесенні двох векторів зберігаються довжини векторів і кут між ними. Нехай вектори \mathbf{v} і \mathbf{w} збігаються з векторами \boldsymbol{\tau} і \mathbf{n} в початковій точці P, але потім при обході контура переносяться паралельно і після обходу виявляються повернутими на деякий кут \Delta \alpha. Ці два вектора утворюють ортонормований базис:

(13) \qquad \mathbf{v}^2 = \mathbf{w}^2 = 1, \qquad (\mathbf{v} \cdot \mathbf{w}) = 0
(14) \qquad w_i = \varepsilon_{ij} v^j

Розкладемо одиничний дотичний вектор \boldsymbol{\tau} за базисом \{ \mathbf{v}, \mathbf{w}\}:

(15) \qquad \boldsymbol{\tau} = \mathbf{v} \cos \varphi + \mathbf{w} \sin \varphi

де \varphi — кут, на який повернутий вектор \boldsymbol{\tau} відносно вектора \mathbf{v}. На початку обходу \varphi = \varphi_0 = 0. В кінці обходу вектор \boldsymbol{\tau} повернеться на кут 2 \pi, а вектор \mathbf{v} на кут \Delta \alpha, тому:

(16) \qquad \varphi_1 = 2 \pi - \Delta \alpha

Повороти векторів на контурі і геодезична кривина[ред.ред. код]

Маємо такі тензорні диференціали векторів вздовж контура:

(17) \qquad D \tau^i = d \tau^i + \Gamma^i_{jk} \tau^j d u^k = k_g^i d s
(18) \qquad D v^i = d v^i + \Gamma^i_{jk} v^j d u^k = 0
(19) \qquad D w^i = d w^i + \Gamma^i_{jk} w^j d u^k = 0

тому при диференціюванні рівності (15) одержуємо:

(20) \qquad k_g^i d s = -  v^i \sin \varphi \, d \varphi + w^i \cos \varphi \, d \varphi =
= \varepsilon^{ij} (w_j \sin \varphi + v_j \cos \varphi )\, d \varphi =
\varepsilon^{ij} \tau_j d \varphi

Порівнюючи формули (20) і (7) знаходимо:

(21) \qquad k_g d s = d \varphi
(22) \qquad \oint_L k_g ds = \int_{\varphi _0}^{\varphi _1} d \varphi = 2 \pi - \Delta \alpha

Порівнюючи формули (22) і (11) одержуємо таку формулу, яку нам лишається довести:

(23) \qquad \iint_{\Omega} K d \sigma = \Delta \alpha

Застосування формули Остроградського-Гауса[ред.ред. код]

В лівій частині формули (23) стоїть інтеграл по двовимірній області \Omega, а в правій — поворот вектора при паралельному перенесенні довкола межі L області \Omega, який природно буде виразити через контурний інтеграл. Ці два інтеграла — інтеграл по двовимірній області і інтеграл по межі цієї області можна пов'язати через застосування формули Остроградського-Гауса. Але для цього нам знадобиться допоміжне векторне поле, яке визначене і диференційовне скрізь всередині області \Omega та на її межі L.

Вибір допоміжного векторного поля[ред.ред. код]

Оскільки на контурі L нас можуть цікавити лише кути між векторами а не їхні довжини, то доцільно вибрати допоміжне векторне поле \mathbf{a} одиничної довжини, причому не лише на контурі, а і скрізь всередині області \Omega:

(24) \qquad \mathbf{a}^2 = g_{ij} a^i a^j = g_{11} (a^1)^2 + 
2 g_{12} a^1 a^2 + g_{22} (a^2)^2 = 1

Очевидно що умова (24) разом з неперервністю поля \mathbf{a} накладає деякі обмеження — це поле не може мати всередині \Omega точок завихрення або точок, із яких вектори розходяться (або навпаки, сходяться) в різні боки. В усьому іншому поле \mathbf{a} досить довільне.

Наприклад (хоч і необов'язково) можна взяти вектор напрямлений вздовж одного з координатних векторів. Коваріантні координати цього вектора:

(25) \qquad a^1 = {1 \over \sqrt{g_{11}}}, \qquad a^2 = 0

Обчислення повороту вектора при паралельному перенесенні по контуру[ред.ред. код]

Вектор (a) всередині контура

На контурі L розкладемо одиничний вектор \mathbf{a} по базису \{ \mathbf{v}, \mathbf{w} \}:

(26) \qquad a^i = v^i \cos \alpha + w^i \sin \alpha

Тут вектори \mathbf{v} і \mathbf{w} ті ж самі що і раніше в цій статті — здійснюють паралельний обхід контура. Кут \alpha між векторами (\widehat{\mathbf{v}, \mathbf{a}}) є функцією від натурального параметра s на контурі L:

(27) \qquad \alpha = \alpha(s); \qquad \alpha(0) = \alpha_0, \; 
\alpha(s_{\text{max}}) = \alpha_1

Оскільки при обході контура вектор \mathbf{a} не змінює напрямку, а вектор \mathbf{v} повертається на кут \Delta \alpha то:

(28) \qquad \Delta \alpha = - (\alpha_1 - \alpha_0)

Знак мінус в цій формулі виник внаслідок того, що повертається сам базис, відносно якого ми міряємо \alpha.

Продиференціюємо формулу (26) вздовж кривої L:

(29) \qquad D a^i = (-v^i \sin \alpha + w^i \cos \alpha ) \, d \alpha

Тензорний диференціал вектора \mathbf{a} можна записати через коваріантну похідну:

(30) \qquad D a^i = d a^i + \Gamma^i_{jk} a^j d u^k = 
\left ( \partial_k a^i + \Gamma^i_{jk} a^j \right ) d u^k = (\nabla_k a^i) \tau^k\, d s

Права ж частина формули (29) виражається через вектор:

(31) \qquad b_i = \varepsilon_{ij} a^j = \varepsilon_{ij} 
\left ( v^j \cos \alpha + w^j \sin \alpha \right ) = 
w_i \cos \alpha - v_i \sin \alpha

який є одиничним вектором, повернутим на кут {\pi \over 2} щодо вектора \mathbf{a}.

Одержання контурного інтеграла[ред.ред. код]

Підставивши (30) і (31) в формулу (29), ми одержимо векторне рівняння:

(32) \qquad  (\nabla_k a^i) \tau^k\, d s = b^i d \alpha

в якому нас цікавить скалярна функція \alpha = \alpha(s). Помножимо (32) скалярно на одиничний вектор b_i і візьмемо інтеграл:

(33) \qquad \int_0^{s_{\text{max}}} (b_i \nabla_k a^i) \tau^k\, d s = 
\int_0^{s_{\text{max}}} d \alpha = \alpha_1 - \alpha_0 = - \Delta \alpha

Інтеграл в лівій частині цієї рівності фактично є інтегралом по контуру. Для застосування формули Остроградського-Гауса нам потрібно, щоб підінтегральний вираз був скалярним добутком деякого вектора \mathbf{q} на вектор зовнішньої нормалі (в наших старих позначеннях це - n_i = - \varepsilon_{ij} \tau^j).

Фактичне застосування формули Остроградського-Гауса[ред.ред. код]

Домножимо рівняння (12) на \varepsilon^{ik}, після цього знайдемо дотичний вектор \tau^k:

(34) \qquad \varepsilon^{ik} n_i = \left ( \varepsilon^{ik}
\varepsilon_{ij} \right ) \tau^j = \delta^k_j \tau^j = \tau^k

і підставити його в підінтегральний вираз формули (33), одночасно перейменовуючи індекси:

(35) \qquad (b_i \nabla_k a^i) \tau^k = 
\left ( \varepsilon^{ik}  b_l \nabla_k a^l \right ) n_i

Вираз у дужках в правій частині цього рівняння і буде тим вектором \mathbf{q}:

(36) \qquad q^i = \varepsilon^{ik} b_l \nabla_k a^l

який підставляємо в рівняння (33):

(37) \qquad \oint_L (\mathbf{q} \cdot \mathbf{n}) d s = - \Delta \alpha

Інтеграл являє собою потік вектора \mathbf{q} всередину контура L, враховуючи наш вибір напрямку нормалі \mathbf{n}. Застосовуючи формулу Остроградського-Гауса (і враховуючи знак) маємо інтеграл від дивергенції:

(38) \qquad \iint_{\Omega} (\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{q}) d \sigma
= \Delta \alpha

Завершення обчислень[ред.ред. код]

Порівнюючи формули (38) і (23) ми бачимо що для завершення першого етапу нам досить перевірити рівність підінтегральних виразів цих формул:

(39) \qquad K = (\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{q}) = \nabla_i q^i

Дивергенція вектора (36) розкладається на два доданка:

(40) \qquad \nabla_j q^j = \nabla_j \left ( 
\varepsilon^{jk} b_i \nabla_k a^i \right ) = 
\varepsilon^{jk} \left ( \nabla_j b_i \right ) \left ( \nabla_k a^i \right ) +
b_i \varepsilon^{jk} \nabla_j \nabla_k a^i

Розпочнемо з другого доданку, а ще краще з частини цього доданку окрім множника b_i. Оскільки тензор \varepsilon^{jk} антисиметричний, то:

(41) \qquad \varepsilon^{jk} \nabla_j \nabla_k a^i =
{1 \over 2} \varepsilon^{jk} \left ( \nabla_j \nabla_k -
\nabla_k \nabla_j \right ) a^i = {1 \over 2} \varepsilon^{jk} 
R^i_{\,sjk} a^s = {1 \over 2} \varepsilon^{jk} 
R^{is}_{jk} a_s

Тензор Рімана для двовимірного многовида можна виразити через кривину Гауса K:

(42) \qquad R^{is}_{jk} = K \left ( \delta^i_j \delta^s_k -
\delta^i_k \delta^s_j \right )

Тому вираз (41) спрощується:

(43) \qquad \varepsilon^{jk} \nabla_j \nabla_k a^i =
{K \over 2} \varepsilon^{jk} \left ( \delta^i_j \delta^s_k -
\delta^i_k \delta^s_j \right ) a_s = {K \over 2} 2 \varepsilon^{is} a_s =
K b^i

а отже другий доданок формули (40) просто дорівнює Гаусовій кривині:

(44) \qquad b_i \varepsilon^{jk} \nabla_j \nabla_k a^i =
K b_i b^i = K

Залишається показати, що перший доданок формули (40) дорівнює нулю.

(45) \qquad \varepsilon^{jk} \left ( \nabla_j b_i \right ) 
\left ( \nabla_k a^i \right ) = 0

Це прямо слідує з того факту, що похідні одиничного двовимірного вектора факторизуються (розкладаються на множники):

(46) \qquad \nabla_j b_i = \lambda_j a_i, 
\qquad \nabla_k a^i = \mu_k b^i

Дійсно, підставляючи (46) в (45) одержимо вираз:

(47) \qquad \left ( \varepsilon^{jk} \lambda_j \mu_k \right ) 
\left (a_i b^i \right )

в якому скалярний добуток векторів в других дужках дорівнює нулю.

Нарешті покажемо справедливість розкладу (46). Із одиничності вектора \mathbf{a} слідує:

(48) \qquad a_i \nabla_k a^i = g_{ij} a^j \nabla_k a^i =
{1 \over 2} \nabla_k \left ( g_{ij} a^j a^i \right ) =
{1 \over 2} \nabla_k 1 = 0

Оскільки вектор \mathbf{b} також ортогональний до \mathbf{a} то маємо наступну однорідну систему двох лінійних рівнянь з двома невідомими a_1, \, a_2:

(49) \qquad \begin{cases}
 (\nabla_k a^1) a_1 + (\nabla_k a^2) a_2 = 0 \\
 b^1 a_1 + b^2 a_2 = 0
 \end{cases}

Ця система має ненульовий розв'язок, тому матриця її коефіцієнтів:

(50) \qquad \begin{bmatrix} \nabla_k a^1 & \nabla_k a^2 \\
b^1 & b^2  \end{bmatrix}

вироджена і рядки цієї матриці пропорційні. Тобто ми маємо друге рівняння (46). Перше рівняння одержується аналогічно.

Формулу (11) доведено.

Другий етап доведення[ред.ред. код]

Розглянемо просту область з кусково-гладкою межею. Ми можемо згладити всі кути, вписуючи гладку дугу AB в кожен криволінійний кут P (див. малюнок).

Закруглення криволінійного кута

Одержуємо область з гладкою межею, до якої можна застосувати теорему Гауса-Бонне, доведену на першому етапі. Спробуємо здійснити граничний перехід формули (11) стягуючи дугу AB в точку зламу P.

Перший інтеграл формули (11) для згладженої і незгладженої кривих, відрізняється на величину інтеграла по криволінійному трикутнику ABP

(51)\qquad \iint_{\triangle ABP} K d \sigma

Оскільки площа цього трикутника прямує до нуля, а Гаусова кривина K обмежена, то і величина (51) прямує до нуля. Отже при граничному переході перший інтеграл

(52)\qquad \iint_{\Omega} K d \sigma

зберігає свій вигляд, просто область \Omega може мати злами на контурі.

З другим (контурним) інтегралом складніше. Розглянемо спочатку випадок плоского многовида (евклідову площину). В цьому разі паралельне перенесення не залежить від шляху і тому можна говорити про кут між векторами, що знаходяться в різних точках. Інтегрування геодезичної кривини по дузі AB, згідно з формулою (22), дає кут між дотичними в точках A і B:

(53) \qquad \int_{\smile AB} k_g d s = \phi_A - \phi_B

При граничному переході ця величина прямує до кута \phi між двома дотичними векторами в точці зламу P:

(54)\qquad  \qquad \int_{\smile AB} k_g d s \to \phi

а інтеграли по (викинутих при згладжуванні) дугах AP і PB прямують до нуля, оскільки геодезична кривина цих дуг залишається обмеженою, а їхня довжина зменшується до нуля.

Із формули (54) слідує формула (8) при \chi(\Omega) = 1, що і треба було довести.

Нам ще залишається довести, що формула (54) має місце і в загальному випадку викривленого многовида. Виберемо систему координат на многовиді в околі точки P таку, що метричний тензор g_{ij} в точці P записується одиничною матрицею \delta_{ij}, а символи Крістофеля \Gamma^s_{ij} в цій точці дорівнюють нулю.

Дану систему координат \{u^1, u^2\} можна розглядати як дифеоморфне відображення між областю многовиду та областю площини (картою), в якій ця система координат є декартовою.

Позначимо d t елемент довжини кривої на карті:

\qquad dt = \sqrt{(u^1)^2 + (u^2)^2}

а буквою з тильдою \tilde k_g — геодезичну кривину кривої на карті. Тоді:

(55) \qquad k_g = \varepsilon_{ij} \tau^i k^j = 
\varepsilon_{ij} {d u^i \over d s} \left ( 
{d^2 u^j \over d s^2} + \Gamma^j_{kl} {d u^k \over d s} {d u^l \over d s} \right )
(56) \qquad \tilde k_g dt = \hat \varepsilon_{ij} \dot{u}^i \ddot{u}^j d t
(57) \qquad k_g d s = {\sqrt{g} \over \dot{s}^2} \hat \varepsilon_{ij}
\dot{u}^i \left (\ddot{u}^j + \Gamma^j_{kl} \dot{u}^k \dot{u}^l \right ) \; d t

Крапками позначено похідні по параметру t. Із двох останніх формул уже можна зробити висновок про однаковість, з точністю до нескінченно малих доданків, двох інтегралів від геодезичної кривини по дузі AB, один з яких береться по многовиду, а другий по карті:

\qquad \int_{\smile AB} k_g d s \simeq \int_{\smile AB} \tilde k_g d t

але для цього потрібні два додаткових припущення щоб унеможливити надмірну довжину дуги AB за рахунок осциляцій або закручувань у спіраль. А саме, припустимо що знак геодезичної на дузі AB є постійний, а також, що дуга AB не має інших спільних точок з криволінійним кутом, окрім своїх кінців.

Дійсно, множник

\qquad {\sqrt{g} \over \dot{s}^2} = {\sqrt{g} \over 
{g_{11} \cos^2 \alpha + 2 g_{12} \cos \alpha \sin \alpha + g_{22} \sin^2 \alpha}} \to 1

прямує до одиниці, а символи Крістофеля до нуля внаслідок спеціального вибору системи координат. Отже і в загальному випадку справедлива границя (54), а тому для простої області доведено варіант формули (8):

(58) \qquad \iint_{\Omega} K d \sigma + \oint_L k_g d s + \sum_i \phi_i = 2 \pi

Третій етап доведення[ред.ред. код]

Розіб'ємо топологічно складну область \Omega на скінченну кількість простих підобластей \Omega_i, до кожної з яких можна застосувати формулу (58).

Розбивка на прості підобласті

Характеристика Ейлера обчислюється за формулою (9)

 \qquad \chi = B - P + \Gamma

де B, P, \Gamma позначають кількості вершин, ребер та граней (підобластей \Omega_i). Для простоти доведення будемо вважати всі ребра одержаного графа гладкими кривими, а всі злами на контурах відбуваються при вершинах графа. Зручно розглядати внутрішні кути \alpha_{ij} при всіх вершинах графа. Тут перший індекс (i) нумерує всі вершини, як внутрішні, так і ті, що лежать на межі \partial \Omega області \Omega. Другий індекс (j) нумерує кути при вершині A_i. Злам \phi_{ij} при вершині є доповненням до внутрішнього кута:

\phi_{ij} = \pi - \alpha_{ij}

і ми можемо знайти суму формул (58) для всіх підобластей \Omega_i:

(59) \qquad 2 \pi \Gamma = \sum_{\Omega_i} \iint_{\Omega_i} K d \sigma + 
\sum_{L_i} \int_{L_i} k_g d s + \sum_{A_i} \sum_j (\pi - \alpha_{ij})

Розберемося з кожним із трьох доданків у правій частині формули (59). Перший доданок, очевидно, дорівнює інтегралу по цілій області \Omega:

(60) \qquad \iint_{\Omega} K d \sigma = 
\sum_{\Omega_i} \iint_{\Omega_i} K d \sigma

В другому доданку треба розрізняти зовнішні ребра L_i \in \, \partial \Omega, які лежать на межі, від внутрішніх. Інтегрування по внутрішньому ребру відбувається двічі, при розгляді двох суміжних підобластей, що розділяються даним ребром. Причому проекції геодезичної кривини будуть протилежними:

\qquad k_g = (\mathbf{k}_g \cdot \mathbf{n}) = - (\mathbf{k}_g \cdot \mathbf{n'}) = - {k_g}'

A отже всі інтеграли по внутрішніх ребрах взаємно компенсуються і в сумі (59) лишаються тільки інтеграли по зовнішніх ребрах:

(61) \qquad \sum_{L_i} \int_{L_i} k_g d s = \sum_{L_i \in \, \partial \Omega} \int_{L_i} k_g d s

Перейдемо до розгляду третього доданка формули (59). Для кожної внутрішньої вершини маємо:

(62) \qquad \sum_j (\pi - \alpha_{ij}) = \pi \rho_i - 2 \pi

де \rho_i — кількість кінців (внутрішніх) ребер, що сходяться в цій вершині.

Для вершини на межі області \Omega маємо:

(63) \qquad \sum_j (\pi - \alpha_{ij}) = \pi \rho_i + (\pi - \hat A_i) 
= \pi \rho_i + \phi_i

де \rho_i також, як і в попередній формулі, позначає кількість кінців внутрішніх ребер, що сходяться у вершині A_i, а \phi_i позначає кут, на який повертається дотичний до лінії межі вектор при переході через точку A_i.

Оскільки кожне ребро має два кінця, то сума всіх цих кінців дорівнює подвоєній кількості внутрішніх ребер:

(64) \qquad \sum_i \rho_i = 2 P_{\mbox{int}}

і ми можемо записати для третього доданка:

(65) \qquad \sum_{A_i} \sum_j (\pi - \alpha_{ij}) = 
2 \pi \left ( P_{\mbox{int}} - B_{\mbox{int}} \right ) + 
\sum_{A_i \in \partial \Omega} \phi_i

Очевидно, що межа \partial \Omega складається з декількох контурів, гомеомеорфних колу. На кожному такому контурі, а отже і на всій межі \partial \Omega кількість вершин B_{\partial \Omega} і кількість ребер P_{\partial \Omega} однакова. Маємо:

(66) \qquad P_{\mbox{int}} - B_{\mbox{int}} = 
\left ( P_{\mbox{int}} + P_{\partial \Omega} \right ) - 
\left ( B_{\mbox{int}} + B_{\partial \Omega} \right ) = P - B

Підставимо формули (60), (61), (65) і (66) в (59). Одержуємо:

(67) \qquad 2 \pi \Gamma = \iint_{\Omega} K d \sigma + 
\sum_{L_i \in \, \partial \Omega} \int_{L_i} k_g d s + 
\sum_{A_i \in \partial \Omega} \phi_i + 2 \pi (P - B)

що є еквівалентом формули (8). Теорему повністю доведено.

Історія[ред.ред. код]

Приватний випадок цієї формули для геодезичних трикутників був отриманий Гаусом, проте він не опублікував її. В 1848 році її опублікував французький математик Бонне П'єр Осіян, який узагальнив формулу на випадок диска обмеженого довільною кривою. У сучасному формулюванні формула вперше з'являється у Вільгельма Бляшке.