Формула Гауса — Бонне

Фо́рмула Га́уса—Бонне́ пов'язує Ейлерову характеристику області двовимірного многовида з кривиною Гауса в цій області та геодезичною кривиною кривої, яка обмежує область.

Формулювання

Нехай $\Omega$ — компактний двовимірний орієнтований ріманів многовид з гладкою межею $\partial \Omega$. Позначимо через $K$ гаусову кривину $\Omega$ та через $k_{g}$ геодезичну кривину $\partial \Omega$. Тоді

$(1)\qquad \iint _{\Omega }Kd\sigma +\oint _{L}k_{g}ds=2\pi \chi (\Omega )$

де $\chi (\Omega )$ — ейлерова характеристика $\Omega$.

Зокрема, якщо у $\Omega$ межа відсутня, отримуємо спрощений вираз

$\int \limits _{\Omega }K\;d\sigma =2\pi \chi (\Omega )$

Якщо поверхня деформується, то її ейлерова характеристика не змінюється, в той час як гаусова кривина може змінюватися в кожній точці. Проте, згідно з формулою Гауса-Бонне, інтеграл гаусової кривини залишається не змінним.

Пояснення позначень

Топологія областей інтегрування

Область $\Omega$ обмежена. Але вона може бути доволі складною, мати одну або кілька компонент зв'язності:

$(2)\qquad \Omega =\Omega _{1}+\Omega _{2}+\dots$

Очевидно, що при цьому перший інтеграл в формулі (1) розбивається на суму інтегралів по компонентах. Кожна з цих компонент $\Omega _{i}$ в свою чергу може бути топологічно складною.

Зокрема область $\Omega$ може повністю покривати замкнутий многовид (наприклад сферу, тор, …) і не мати межі зовсім — тоді другого інтеграла в формулі (1) не буде:

$(3)\qquad \iint _{\Omega }Kd\sigma =2\pi \chi (\Omega )$

В інших випадках межа $L_{i}$ області $\Omega _{i}$ може складатися з одного контуру (наприклад якщо область гомеоморфна кругу), або більшої кількості контурів $L_{ij}$ (наприклад якщо область є кільцем між двома концентричними колами):

$(4)\qquad L_{i}=\sum _{j}L_{ij}$

В цих випадках інтеграл по межі $L$ також розбивається на суму інтегралів по $L_{ij}$.

Кривини

Буквою $K$ під першим інтегралом (1) позначено кривиною Гауса другого степеня, яка для двовимірного многовида дорівнює половині скалярної кривини:

$(5)\qquad K=K^{[2]}={R \over 2}$

Геодезична кривина $\mathbf {k} _{g}$ кривої взагалі кажучи є вектором, ортогональним до одиничного дотичного вектора ${\boldsymbol {\tau }}={d\mathbf {r} \over ds}$, і який лежить у многовиді. Але в формулі (1) через $k_{g}$ позначено скалярну величину — проєкцію вектора геодезичної кривини на напрям нормалі, напрямленої всередину області $\Omega$.

Запишемо вищесказане математично. Компоненти вектора геодезичної кривини обчислюються через тензорну похідну одиничного дотичного вектора $\tau ^{i}$ по натуральному параметру кривої:

$(6)\qquad k_{g}^{i}={D\tau ^{i} \over Ds}={d\tau ^{i} \over ds}+\Gamma _{jk}^{i}\tau ^{j}\tau ^{k}$

Нормаль до вектора $\tau ^{i}$ можна утворити дією одиничного антисиметричного тензора $\varepsilon ^{ij}$, а тому (при належному виборі напрямку обходу контуру):

$(7)\qquad k_{g}^{i}=k_{g}\varepsilon ^{ij}\tau _{j}$

Коефіцієнт $k_{g}$ в правій частині формули (7) той самий, який стоїть під другим інтегралом в формулі (1).

Злами на контурах

В попередньому підпункті ми розглядали гладкий контур $L$. Але неважко, використовуючи граничний перехід, узагальнити формулу (1) для кусково-гладкої межі яка складається з гладких дуг, що сходяться під деяким кутом між собою (дивіться наприклад статтю Геодезичний трикутник). Якщо в точці зламу $P_{i}$ дотичний вектор ${\boldsymbol {\tau }}$ розвертається на кут $\phi _{i}$ в сторону області $\Omega$ (може бути додатне чи від'ємне число) то формула (1) узагальнюється до такої:

$(8)\qquad \iint _{\Omega }Kd\sigma +\oint _{L}k_{g}ds+\sum _{i}\phi _{i}=2\pi \chi (\Omega )$

В цій формулі другий інтеграл береться по гладких ділянках дуг межі $L$.

Для виводу формули (8) область $\Omega$, яка має злами на межі, треба апроксимувати областю ${\tilde {\Omega }}$, яка має згладжені кути. Потім радіус закруглення на кутах спрямовуємо до нуля.

Ейлерова характеристика

Обмежену двовимірну область $\Omega$ можна розбити лініями на кілька менших підобластей $\Omega _{1},\,\Omega _{2},\dots$, гомеоморфних кругу. Лінії в свою чергу можна поділити точками на дуги, гомеоморфні відрізку. Якщо позначити кількість точок буквою $B$ (вершини графу), кількість дуг буквою $P$ (ребра графу), а кількість підобластей буквою $\Gamma$ (грані), то наступне ціле число:

$(9)\qquad \chi =B-P+\Gamma$

не залежить від способу розбивки області $\Omega$ і називається характеристикою Ейлера. Для кожної підобласті $\Omega _{k}$ можна знайти карту (систему координат $\{u^{1},\,u^{2}\}$), яка відображає область Евклідової площини в $\Omega _{k}$.

Три етапи доведення теореми Гауса-Бонне

На першому етапі доводимо теорему для простої області, гомеоморфної кругу, з гладкою границею. На другому етапі граничним переходом поширюємо теорему на просту область з кутами. На третьому (топологічному) етапі об'єднуємо та склеюємо прості області в довільну область і показуємо, що при операціях об'єднання та склейки формула (1) залишається справедливою.

Перший етап доведення

Обчислення характеристики Ейлера

Обчислимо характеристику Ейлера для простої області $\Omega$. Межа цієї області є контуром $L$, гомеоморфним колу. Поставимо на цьому контурі дві точки $P$ і $Q$, які розбивають наш контур на дві дуги, гомеоморфні відрізку. Маємо дві вершини, два ребра і одну грань — саму область $\Omega$, тому за формулою (9) маємо:

$(10)\qquad \chi =B-P+\Gamma =2-2+1=1$

і нам треба довести наступну формулу для цього випадку:

$(11)\qquad \iint _{\Omega }Kd\sigma +\oint _{L}k_{g}ds=2\pi$

Вектори на контурі

Паралельний обхід контура вектором v

Візьмемо точку $P$ на контурі $L$. Позначимо буквою $\mathbf {n}$ вектор нормалі до контуру, напрямлений всередину області $\Omega$. При належному виборі напрямку обходу контуру компоненти цього вектора виражаються через дотичний вектор $\tau ^{i}$ та одиничний антисиметричний тензор $\varepsilon _{ij}$:

$(12)\qquad n_{i}=\varepsilon _{ij}\tau ^{j}$

При обході контуру, очевидно, вектори $\mathbf {n}$ і ${\boldsymbol {\tau }}$ повернуться на кут $2\pi$ і збіжаться з початковими значеннями цих векторів.

Щоб простежити, як здійснюється цей поворот, розглянемо паралельне перенесення векторів. Як відомо, при паралельному перенесенні двох векторів зберігаються довжини векторів і кут між ними. Нехай вектори $\mathbf {v}$ і $\mathbf {w}$ збігаються з векторами ${\boldsymbol {\tau }}$ і $\mathbf {n}$ в початковій точці $P$, але потім при обході контуру переносяться паралельно і після обходу виявляються повернутими на деякий кут $\Delta \alpha$. Ці два вектора утворюють ортонормований базис:

$(13)\qquad \mathbf {v} ^{2}=\mathbf {w} ^{2}=1,\qquad (\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} )=0$

$(14)\qquad w_{i}=\varepsilon _{ij}v^{j}$

Розкладемо одиничний дотичний вектор ${\boldsymbol {\tau }}$ за базисом $\{\mathbf {v} ,\mathbf {w} \}$:

$(15)\qquad {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {v} \cos \varphi +\mathbf {w} \sin \varphi$

де $\varphi$ — кут, на який повернутий вектор ${\boldsymbol {\tau }}$ відносно вектора $\mathbf {v}$. На початку обходу $\varphi =\varphi _{0}=0$. В кінці обходу вектор ${\boldsymbol {\tau }}$ повернеться на кут $2\pi$, а вектор $\mathbf {v}$ на кут $\Delta \alpha$, тому:

$(16)\qquad \varphi _{1}=2\pi -\Delta \alpha$

Повороти векторів на контурі і геодезична кривина

Маємо такі тензорні диференціали векторів вздовж контуру:

$(17)\qquad D\tau ^{i}=d\tau ^{i}+\Gamma _{jk}^{i}\tau ^{j}du^{k}=k_{g}^{i}ds$

$(18)\qquad Dv^{i}=dv^{i}+\Gamma _{jk}^{i}v^{j}du^{k}=0$

$(19)\qquad Dw^{i}=dw^{i}+\Gamma _{jk}^{i}w^{j}du^{k}=0$

тому при диференціюванні рівності (15) одержуємо:

$(20)\qquad k_{g}^{i}ds=-v^{i}\sin \varphi \,d\varphi +w^{i}\cos \varphi \,d\varphi =$

$=\varepsilon ^{ij}(w_{j}\sin \varphi +v_{j}\cos \varphi )\,d\varphi =\varepsilon ^{ij}\tau _{j}d\varphi$

Порівнюючи формули (20) і (7) знаходимо:

$(21)\qquad k_{g}ds=d\varphi$

$(22)\qquad \oint _{L}k_{g}ds=\int _{\varphi _{0}}^{\varphi _{1}}d\varphi =2\pi -\Delta \alpha$

Порівнюючи формули (22) і (11) одержуємо таку формулу, яку нам лишається довести:

$(23)\qquad \iint _{\Omega }Kd\sigma =\Delta \alpha$

Застосування формули Остроградського-Гауса

В лівій частині формули (23) стоїть інтеграл по двовимірній області $\Omega$, а в правій — поворот вектора при паралельному перенесенні довкола межі $L$ області $\Omega$, який природно буде виразити через контурний інтеграл. Ці два інтеграла — інтеграл по двовимірній області і інтеграл по межі цієї області можна пов'язати через застосування формули Остроградського-Гауса. Але для цього нам знадобиться допоміжне векторне поле, яке визначене і диференційовне скрізь всередині області $\Omega$ та на її межі $L$.

Вибір допоміжного векторного поля

Оскільки на контурі $L$ нас можуть цікавити лише кути між векторами а не їхні довжини, то доцільно вибрати допоміжне векторне поле $\mathbf {a}$ одиничної довжини, причому не лише на контурі, а і скрізь всередині області $\Omega$:

$(24)\qquad \mathbf {a} ^{2}=g_{ij}a^{i}a^{j}=g_{11}(a^{1})^{2}+2g_{12}a^{1}a^{2}+g_{22}(a^{2})^{2}=1$

Очевидно що умова (24) разом з неперервністю поля $\mathbf {a}$ накладає деякі обмеження — це поле не може мати всередині $\Omega$ точок завихрення або точок, із яких вектори розходяться (або навпаки, сходяться) в різні боки. В усьому іншому поле $\mathbf {a}$ досить довільне.

Наприклад (хоч і необов'язково) можна взяти вектор напрямлений вздовж одного з координатних векторів. Коваріантні координати цього вектора:

$(25)\qquad a^{1}={1 \over {\sqrt {g_{11}}}},\qquad a^{2}=0$

Обчислення повороту вектора при паралельному перенесенні по контуру

Вектор (a) всередині контура

На контурі $L$ розкладемо одиничний вектор $\mathbf {a}$ по базису $\{\mathbf {v} ,\mathbf {w} \}$:

$(26)\qquad a^{i}=v^{i}\cos \alpha +w^{i}\sin \alpha$

Тут вектори $\mathbf {v}$ і $\mathbf {w}$ ті ж самі що і раніше в цій статті — здійснюють паралельний обхід контуру. Кут $\alpha$ між векторами $({\widehat {\mathbf {v} ,\mathbf {a} }})$ є функцією від натурального параметра $s$ на контурі $L$:

$(27)\qquad \alpha =\alpha (s);\qquad \alpha (0)=\alpha _{0},\;\alpha (s_{\text{max}})=\alpha _{1}$

Оскільки при обході контуру вектор $\mathbf {a}$ не змінює напрямку, а вектор $\mathbf {v}$ повертається на кут $\Delta \alpha$ то:

$(28)\qquad \Delta \alpha =-(\alpha _{1}-\alpha _{0})$

Знак мінус в цій формулі виник внаслідок того, що повертається сам базис, відносно якого ми міряємо $\alpha$.

Продиференціюємо формулу (26) вздовж кривої $L$:

$(29)\qquad Da^{i}=(-v^{i}\sin \alpha +w^{i}\cos \alpha )\,d\alpha$

Тензорний диференціал вектора $\mathbf {a}$ можна записати через коваріантну похідну:

$(30)\qquad Da^{i}=da^{i}+\Gamma _{jk}^{i}a^{j}du^{k}=\left(\partial _{k}a^{i}+\Gamma _{jk}^{i}a^{j}\right)du^{k}=(\nabla _{k}a^{i})\tau ^{k}\,ds$

Права ж частина формули (29) виражається через вектор:

$(31)\qquad b_{i}=\varepsilon _{ij}a^{j}=\varepsilon _{ij}\left(v^{j}\cos \alpha +w^{j}\sin \alpha \right)=w_{i}\cos \alpha -v_{i}\sin \alpha$

який є одиничним вектором, повернутим на кут ${\pi \over 2}$ щодо вектора $\mathbf {a}$.

Одержання контурного інтеграла

Підставивши (30) і (31) в формулу (29), ми одержимо векторне рівняння:

$(32)\qquad (\nabla _{k}a^{i})\tau ^{k}\,ds=b^{i}d\alpha$

в якому нас цікавить скалярна функція $\alpha =\alpha (s)$. Помножимо (32) скалярно на одиничний вектор $b_{i}$ і візьмемо інтеграл:

$(33)\qquad \int _{0}^{s_{\text{max}}}(b_{i}\nabla _{k}a^{i})\tau ^{k}\,ds=\int _{0}^{s_{\text{max}}}d\alpha =\alpha _{1}-\alpha _{0}=-\Delta \alpha$

Інтеграл в лівій частині цієї рівності фактично є інтегралом по контуру. Для застосування формули Остроградського-Гауса нам потрібно, щоб підінтегральний вираз був скалярним добутком деякого вектора $\mathbf {q}$ на вектор зовнішньої нормалі (в наших старих позначеннях це $-n_{i}=-\varepsilon _{ij}\tau ^{j}$).

Фактичне застосування формули Остроградського-Гауса

Домножимо рівняння (12) на $\varepsilon ^{ik}$, після цього знайдемо дотичний вектор $\tau ^{k}$:

$(34)\qquad \varepsilon ^{ik}n_{i}=\left(\varepsilon ^{ik}\varepsilon _{ij}\right)\tau ^{j}=\delta _{j}^{k}\tau ^{j}=\tau ^{k}$

і підставити його в підінтегральний вираз формули (33), одночасно перейменовуючи індекси:

$(35)\qquad (b_{i}\nabla _{k}a^{i})\tau ^{k}=\left(\varepsilon ^{ik}b_{l}\nabla _{k}a^{l}\right)n_{i}$

Вираз у дужках в правій частині цього рівняння і буде тим вектором $\mathbf {q}$:

$(36)\qquad q^{i}=\varepsilon ^{ik}b_{l}\nabla _{k}a^{l}$

який підставляємо в рівняння (33):

$(37)\qquad \oint _{L}(\mathbf {q} \cdot \mathbf {n} )ds=-\Delta \alpha$

Інтеграл являє собою потік вектора $\mathbf {q}$ всередину контуру $L$, враховуючи наш вибір напрямку нормалі $\mathbf {n}$. Застосовуючи формулу Остроградського-Гауса (і враховуючи знак) маємо інтеграл від дивергенції:

$(38)\qquad \iint _{\Omega }({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {q} )d\sigma =\Delta \alpha$

Завершення обчислень

Порівнюючи формули (38) і (23) ми бачимо що для завершення першого етапу нам досить перевірити рівність підінтегральних виразів цих формул:

$(39)\qquad K=({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {q} )=\nabla _{i}q^{i}$

Дивергенція вектора (36) розкладається на два доданка:

$(40)\qquad \nabla _{j}q^{j}=\nabla _{j}\left(\varepsilon ^{jk}b_{i}\nabla _{k}a^{i}\right)=\varepsilon ^{jk}\left(\nabla _{j}b_{i}\right)\left(\nabla _{k}a^{i}\right)+b_{i}\varepsilon ^{jk}\nabla _{j}\nabla _{k}a^{i}$

Розпочнемо з другого доданку, а ще краще з частини цього доданку окрім множника $b_{i}$. Оскільки тензор $\varepsilon ^{jk}$ антисиметричний, то:

$(41)\qquad \varepsilon ^{jk}\nabla _{j}\nabla _{k}a^{i}={1 \over 2}\varepsilon ^{jk}\left(\nabla _{j}\nabla _{k}-\nabla _{k}\nabla _{j}\right)a^{i}={1 \over 2}\varepsilon ^{jk}R_{\,sjk}^{i}a^{s}={1 \over 2}\varepsilon ^{jk}R_{jk}^{is}a_{s}$

Тензор Рімана для двовимірного многовида можна виразити через кривину Гауса K:

$(42)\qquad R_{jk}^{is}=K\left(\delta _{j}^{i}\delta _{k}^{s}-\delta _{k}^{i}\delta _{j}^{s}\right)$

Тому вираз (41) спрощується:

$(43)\qquad \varepsilon ^{jk}\nabla _{j}\nabla _{k}a^{i}={K \over 2}\varepsilon ^{jk}\left(\delta _{j}^{i}\delta _{k}^{s}-\delta _{k}^{i}\delta _{j}^{s}\right)a_{s}={K \over 2}2\varepsilon ^{is}a_{s}=Kb^{i}$

а отже другий доданок формули (40) просто дорівнює Гаусовій кривині:

$(44)\qquad b_{i}\varepsilon ^{jk}\nabla _{j}\nabla _{k}a^{i}=Kb_{i}b^{i}=K$

Залишається показати, що перший доданок формули (40) дорівнює нулю.

$(45)\qquad \varepsilon ^{jk}\left(\nabla _{j}b_{i}\right)\left(\nabla _{k}a^{i}\right)=0$

Це прямо слідує з того факту, що похідні одиничного двовимірного вектора факторизуються (розкладаються на множники):

$(46)\qquad \nabla _{j}b_{i}=\lambda _{j}a_{i},\qquad \nabla _{k}a^{i}=\mu _{k}b^{i}$

Дійсно, підставляючи (46) в (45) одержимо вираз:

$(47)\qquad \left(\varepsilon ^{jk}\lambda _{j}\mu _{k}\right)\left(a_{i}b^{i}\right)$

в якому скалярний добуток векторів в других дужках дорівнює нулю.

Нарешті покажемо справедливість розкладу (46). Із одиничності вектора $\mathbf {a}$ слідує:

$(48)\qquad a_{i}\nabla _{k}a^{i}=g_{ij}a^{j}\nabla _{k}a^{i}={1 \over 2}\nabla _{k}\left(g_{ij}a^{j}a^{i}\right)={1 \over 2}\nabla _{k}1=0$

Оскільки вектор $\mathbf {b}$ також ортогональний до $\mathbf {a}$ то маємо наступну однорідну систему двох лінійних рівнянь з двома невідомими $a_{1},\,a_{2}$:

$(49)\qquad {\begin{cases}(\nabla _{k}a^{1})a_{1}+(\nabla _{k}a^{2})a_{2}=0\\b^{1}a_{1}+b^{2}a_{2}=0\end{cases}}$

Ця система має ненульовий розв'язок, тому матриця її коефіцієнтів:

$(50)\qquad {\begin{bmatrix}\nabla _{k}a^{1}&\nabla _{k}a^{2}\\b^{1}&b^{2}\end{bmatrix}}$

вироджена і рядки цієї матриці пропорційні. Тобто ми маємо друге рівняння (46). Перше рівняння одержується аналогічно.

Формулу (11) доведено.

Другий етап доведення

Розглянемо просту область з кусково-гладкою межею. Ми можемо згладити всі кути, вписуючи гладку дугу $AB$ в кожен криволінійний кут $P$ (див. малюнок).

Закруглення криволінійного кута

Одержуємо область з гладкою межею, до якої можна застосувати теорему Гауса-Бонне, доведену на першому етапі. Спробуємо здійснити граничний перехід формули (11) стягуючи дугу $AB$ в точку зламу $P$.

Перший інтеграл формули (11) для згладженої і незгладженої кривих, відрізняється на величину інтеграла по криволінійному трикутнику $ABP$

$(51)\qquad \iint _{\triangle ABP}Kd\sigma$

Оскільки площа цього трикутника прямує до нуля, а Гаусова кривина $K$ обмежена, то і величина (51) прямує до нуля. Отже при граничному переході перший інтеграл

$(52)\qquad \iint _{\Omega }Kd\sigma$

зберігає свій вигляд, просто область $\Omega$ може мати злами на контурі.

З другим (контурним) інтегралом складніше. Розглянемо спочатку випадок плоского многовида (евклідову площину). В цьому разі паралельне перенесення не залежить від шляху і тому можна говорити про кут між векторами, що знаходяться в різних точках. Інтегрування геодезичної кривини по дузі $AB$, згідно з формулою (22), дає кут між дотичними в точках $A$ і $B$:

$(53)\qquad \int _{\smile AB}k_{g}ds=\phi _{A}-\phi _{B}$

При граничному переході ця величина прямує до кута $\phi$ між двома дотичними векторами в точці зламу $P$:

$(54)\qquad \qquad \int _{\smile AB}k_{g}ds\to \phi$

а інтеграли по (викинутих при згладжуванні) дугах $AP$ і $PB$ прямують до нуля, оскільки геодезична кривина цих дуг залишається обмеженою, а їхня довжина зменшується до нуля.

Із формули (54) слідує формула (8) при $\chi (\Omega )=1$, що і треба було довести.

Нам ще залишається довести, що формула (54) має місце і в загальному випадку викривленого многовида. Виберемо систему координат на многовиді в околі точки $P$ таку, що метричний тензор $g_{ij}$ в точці $P$ записується одиничною матрицею $\delta _{ij}$, а символи Крістофеля $\Gamma _{ij}^{s}$ в цій точці дорівнюють нулю.

Дану систему координат $\{u^{1},u^{2}\}$ можна розглядати як дифеоморфне відображення між областю многовиду та областю площини (картою), в якій ця система координат є декартовою.

Позначимо $dt$ елемент довжини кривої на карті:

$\qquad dt={\sqrt {(u^{1})^{2}+(u^{2})^{2}}}$

а буквою з тильдою ${\tilde {k}}_{g}$ — геодезичну кривину кривої на карті. Тоді:

$(55)\qquad k_{g}=\varepsilon _{ij}\tau ^{i}k^{j}=\varepsilon _{ij}{du^{i} \over ds}\left({d^{2}u^{j} \over ds^{2}}+\Gamma _{kl}^{j}{du^{k} \over ds}{du^{l} \over ds}\right)$

$(56)\qquad {\tilde {k}}_{g}dt={\hat {\varepsilon }}_{ij}{\dot {u}}^{i}{\ddot {u}}^{j}dt$

$(57)\qquad k_{g}ds={{\sqrt {g}} \over {\dot {s}}^{2}}{\hat {\varepsilon }}_{ij}{\dot {u}}^{i}\left({\ddot {u}}^{j}+\Gamma _{kl}^{j}{\dot {u}}^{k}{\dot {u}}^{l}\right)\;dt$

Крапками позначено похідні по параметру $t$. Із двох останніх формул уже можна зробити висновок про однаковість, з точністю до нескінченно малих доданків, двох інтегралів від геодезичної кривини по дузі $AB$, один з яких береться по многовиду, а другий по карті:

$\qquad \int _{\smile AB}k_{g}ds\simeq \int _{\smile AB}{\tilde {k}}_{g}dt$

але для цього потрібні два додаткових припущення щоб унеможливити надмірну довжину дуги $AB$ за рахунок осциляцій або закручувань у спіраль. А саме, припустимо що знак геодезичної на дузі $AB$ є постійний, а також, що дуга $AB$ не має інших спільних точок з криволінійним кутом, окрім своїх кінців.

Дійсно, множник

$\qquad {{\sqrt {g}} \over {\dot {s}}^{2}}={{\sqrt {g}} \over {g_{11}\cos ^{2}\alpha +2g_{12}\cos \alpha \sin \alpha +g_{22}\sin ^{2}\alpha }}\to 1$

прямує до одиниці, а символи Крістофеля до нуля внаслідок спеціального вибору системи координат. Отже і в загальному випадку справедлива границя (54), а тому для простої області доведено варіант формули (8):

$(58)\qquad \iint _{\Omega }Kd\sigma +\oint _{L}k_{g}ds+\sum _{i}\phi _{i}=2\pi$

Третій етап доведення

Розіб'ємо топологічно складну область $\Omega$ на скінченну кількість простих підобластей $\Omega _{i}$, до кожної з яких можна застосувати формулу (58).

Розбивка на прості підобласті

Характеристика Ейлера обчислюється за формулою (9)

$\qquad \chi =B-P+\Gamma$

де $B,P,\Gamma$ позначають кількості вершин, ребер та граней (підобластей $\Omega _{i}$). Для простоти доведення будемо вважати всі ребра одержаного графу гладкими кривими, а всі злами на контурах відбуваються при вершинах графу. Зручно розглядати внутрішні кути $\alpha _{ij}$ при всіх вершинах графу. Тут перший індекс ($i$) нумерує всі вершини, як внутрішні, так і ті, що лежать на межі $\partial \Omega$ області $\Omega$. Другий індекс ($j$) нумерує кути при вершині $A_{i}$. Злам $\phi _{ij}$ при вершині є доповненням до внутрішнього кута:

$\phi _{ij}=\pi -\alpha _{ij}$

і ми можемо знайти суму формул (58) для всіх підобластей $\Omega _{i}$:

$(59)\qquad 2\pi \Gamma =\sum _{\Omega _{i}}\iint _{\Omega _{i}}Kd\sigma +\sum _{L_{i}}\int _{L_{i}}k_{g}ds+\sum _{A_{i}}\sum _{j}(\pi -\alpha _{ij})$

Розберемося з кожним із трьох доданків у правій частині формули (59). Перший доданок, очевидно, дорівнює інтегралу по цілій області $\Omega$:

$(60)\qquad \iint _{\Omega }Kd\sigma =\sum _{\Omega _{i}}\iint _{\Omega _{i}}Kd\sigma$

В другому доданку треба розрізняти зовнішні ребра $L_{i}\in \,\partial \Omega$, які лежать на межі, від внутрішніх. Інтегрування по внутрішньому ребру відбувається двічі, при розгляді двох суміжних підобластей, що розділяються даним ребром. Причому проєкції геодезичної кривини будуть протилежними:

$\qquad k_{g}=(\mathbf {k} _{g}\cdot \mathbf {n} )=-(\mathbf {k} _{g}\cdot \mathbf {n'} )=-{k_{g}}'$

A отже всі інтеграли по внутрішніх ребрах взаємно компенсуються і в сумі (59) лишаються тільки інтеграли по зовнішніх ребрах:

$(61)\qquad \sum _{L_{i}}\int _{L_{i}}k_{g}ds=\sum _{L_{i}\in \,\partial \Omega }\int _{L_{i}}k_{g}ds$

Перейдемо до розгляду третього доданка формули (59). Для кожної внутрішньої вершини маємо:

$(62)\qquad \sum _{j}(\pi -\alpha _{ij})=\pi \rho _{i}-2\pi$

де $\rho _{i}$ — кількість кінців (внутрішніх) ребер, що сходяться в цій вершині.

Для вершини на межі області $\Omega$ маємо:

$(63)\qquad \sum _{j}(\pi -\alpha _{ij})=\pi \rho _{i}+(\pi -{\hat {A}}_{i})=\pi \rho _{i}+\phi _{i}$

де $\rho _{i}$ також, як і в попередній формулі, позначає кількість кінців внутрішніх ребер, що сходяться у вершині $A_{i}$, а $\phi _{i}$ позначає кут, на який повертається дотичний до лінії межі вектор при переході через точку $A_{i}$.

Оскільки кожне ребро має два кінця, то сума всіх цих кінців дорівнює подвоєній кількості внутрішніх ребер:

$(64)\qquad \sum _{i}\rho _{i}=2P_{\mbox{int}}$

і ми можемо записати для третього доданка:

$(65)\qquad \sum _{A_{i}}\sum _{j}(\pi -\alpha _{ij})=2\pi \left(P_{\mbox{int}}-B_{\mbox{int}}\right)+\sum _{A_{i}\in \partial \Omega }\phi _{i}$

Очевидно, що межа $\partial \Omega$ складається з декількох контурів, гомеомеорфних колу. На кожному такому контурі, а отже і на всій межі $\partial \Omega$ кількість вершин $B_{\partial \Omega }$ і кількість ребер $P_{\partial \Omega }$ однакова. Маємо:

$(66)\qquad P_{\mbox{int}}-B_{\mbox{int}}=\left(P_{\mbox{int}}+P_{\partial \Omega }\right)-\left(B_{\mbox{int}}+B_{\partial \Omega }\right)=P-B$

Підставимо формули (60), (61), (65) і (66) в (59). Одержуємо:

$(67)\qquad 2\pi \Gamma =\iint _{\Omega }Kd\sigma +\sum _{L_{i}\in \,\partial \Omega }\int _{L_{i}}k_{g}ds+\sum _{A_{i}\in \partial \Omega }\phi _{i}+2\pi (P-B)$

що є еквівалентом формули (8). Теорему повністю доведено.

Історія

Окремий випадок цієї формули для геодезичних трикутників був отриманий Гаусом, проте він не опублікував її. В 1848 році її опублікував французький математик Бонне П'єр Осіян, який узагальнив формулу на випадок диска, обмеженого довільною кривою. У сучасному формулюванні формула вперше з'являється у Вільгельма Бляшке.