Формула Герона

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Трикутник із сторонами a, b й c.

Фо́рмула Геро́на визначає площу трикутника S за довжиною його сторін a, b, і с.

 S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}

де  p = (a+b+c)/2 \, - половина периметру трикутника.

Доведення[ред.ред. код]

S={1\over2}ab\cdot\sin{\gamma},

де \ \gamma — кут трикутника, що лежить навпроти сторони c. Згідно з теоремою косинусів:

c^2 = a^2+ b^2 - 2ab\cdot \cos \gamma,

Звідси:

\cos \gamma = {a^2+ b^2 - c^2 \over 2ab},

Тому,

\ \sin^2\gamma=1-\cos^2\gamma=(1-\cos\gamma)(1+\cos\gamma)=
={{2ab-a^2-b^2+c^2}\over 2ab}\cdot{{2ab+a^2+b^2-c^2}\over 2ab}=
={{c^2-(a-b)^2}\over 2ab}\cdot{{(a+b)^2-c^2}\over 2ab}={1\over 4a^2b^2}(c-a+b)(c+a-b)(a+b-c)(a+b+c).

Оскільки справедливі рівності a+b+c=2p, a+b-c=2p-2c, a+c-b=2p-2b, c-a+b=2p-2a, отримується:

\sin\gamma={2\over ab}\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}.

Таким чином,

S={1\over 2}ab\sin\gamma = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},

Посилання[ред.ред. код]