Формула Герона

Трикутник із сторонами a, b й c.

Фо́рмула Геро́на визначає площу трикутника S за довжиною його сторін a, b, і с.

$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

де $p = (a+b+c)/2 \,$ - половина периметру трикутника.

Доведення

$S={1\over2}ab\cdot\sin{\gamma}$,

де $\ \gamma$ — кут трикутника, що лежить навпроти сторони $c$. Згідно з теоремою косинусів:

$c^2 = a^2+ b^2 - 2ab\cdot \cos \gamma,$

Звідси:

$\cos \gamma = {a^2+ b^2 - c^2 \over 2ab},$

Тому,

$\ \sin^2\gamma=1-\cos^2\gamma=(1-\cos\gamma)(1+\cos\gamma)=$

$={{2ab-a^2-b^2+c^2}\over 2ab}\cdot{{2ab+a^2+b^2-c^2}\over 2ab}=$

$={{c^2-(a-b)^2}\over 2ab}\cdot{{(a+b)^2-c^2}\over 2ab}={1\over 4a^2b^2}(c-a+b)(c+a-b)(a+b-c)(a+b+c)$.

Оскільки справедливі рівності $a+b+c=2p$, $a+b-c=2p-2c$, $a+c-b=2p-2b$, $c-a+b=2p-2a$, отримується:

$\sin\gamma={2\over ab}\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}.$

Таким чином,

$S={1\over 2}ab\sin\gamma = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},$

Посилання

• Weisstein, Eric W. Формула Герона(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.