Формула Кардано

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Фо́рмула Карда́но — це формула для аналітичного розв'язку канонічного кубічного рівняння виду x^3+px+q=0 \!. Вона має вигляд:

x=^3\!\!\sqrt{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}} + ^3\!\!\sqrt{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}.

Названа на честь Джироламо Кардано, хто перший опублікував її.

Виведення формули Кардано[ред.ред. код]

Нехай дано рівняння \ x^3+px+q=0

Будемо шукати його розв'язок у вигляді \ x=u+v.

Отримаємо рівняння

\ u^3 + v^3 + (3uv+p)(u+v) + q = 0.

Введемо додаткову умову для змінних \ 3uv + p = 0,

утворену систему \begin{cases} u^3+v^3=-q\\ u^3 v^3=- \frac{p^3}{27} \end{cases} розв'яжемо за допомогою формули Вієта для квадратного рівняння і отримаємо:

\begin{cases} u^3=-\frac{q}{2}-\sqrt{D}\\ v^3=-\frac{q}{2}+\sqrt{D}\end{cases}, де D=\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27} — дискримінант кубічного рівняння, звідки

\begin{cases} u={}^3\!\!\sqrt{-\frac{q}{2}-\sqrt{D}}\\ v={}^3\!\!\sqrt{-\frac{q}{2}+\sqrt{D}}\end{cases}

Розв'язок рівняння подається у вигляді x=u+v. В комплексних числах кубічний корінь має 3 різних значення. Для отримання розв'язків потрібно вибирати такі пари значень кубічного кореня, щоб uv = -\frac p 3. Таких пар обов'язково знайдеться рівно 3.

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]