Формула Муавра

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Формула Муавра — формула, за якою для будь-якого комплексного числа  x \, та будь-якого цілого числа  n \, виконується рівність:

\left(\cos x+i\sin x\right)^n=\cos\left(nx\right)+i\sin\left(nx\right).\,

Важливість формули полягає у поєднанні двох розділів математики — тригонометрії та комплексного аналізу.

Вперше опублікована у 1730 році у праці Абрахама де Муавра «Miscellanea analytica».

Отримання[ред.ред. код]

Хоча історично формули довели раніше, її можна легко отримати з формули Ейлера

e^{ix} = \cos x + i\sin x\,

і закону піднесення до цілочисельного степеня

\left( e^{ix} \right)^n = e^{inx} .

Тоді, за формулою Ейлера

e^{i(nx)} = \cos (nx) + i\sin (nx).\,

Простіший спосіб доведення такий:

(\cos x + i \sin x)^2 = \cos^2 x + 2i\sin x \cos x - \sin^2 x = (\cos^2 x - \sin^2 x) + i(2 \sin x \cos x) = \cos(2x) + i \sin (2x)

де останній перехід випливає таких тригонометричних тотожностей

\cos^2 x - \sin^2 x = \cos(2x)
2\sin x \cos x = \sin(2x) .

Це доведення теореми для n = 2.

Див. також[ред.ред. код]