Формула Ньютона — Лейбніца

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Нехай функція f(x) неперервна на відрізку [а, b] і відома її первісна F(x), тоді визначений інтеграл від функції f(x) можна обчислити за формулою:


\int\limits_a^b f(x)\, dx = F(b) - F(a)


Ця формула називається формулою Ньютона—Лейбніца. Іноді її називають основною формулою інтегрального числення. Для скорочення запису часто застосовується позначення:


\int\limits_a^b f(x)\, dx =\Bigl[ F(x) \Bigr]_a^b= \Bigl. F(x) \Bigr|_a^b


Формула Ньютона-Лейбніца для обчислення визначеного інтегралу є узагальненням методу Архімеда для обчислення площ і поверхонь плоских, криволінійних поверхонь, об'ємів тіл, довжин кривих та інших задач.

Але в багатьох випадках первісна функція не може бути знайдена за допомогою елементарних засобів або є занадто складною, що робить неможливим обчислення визначеного інтеграла ца цією формулою. В таких випадках користуються чисельнимим методами обчислення визначених інтегралів.

Формальні твердження[ред.ред. код]

Існує дві частини теореми. Інакше кажучи, перша частина оперує з похідними первісних, тоді як друга частина має справу зі зв'язком між первісною і визначеним інтегралом.

Перша частина[ред.ред. код]

Ця частина іноді згадується як перша фундаментальна теорема інтегрального числення.[1]

Нехай f буде неперервною дійсно-значимою функцією на закритому проміжку [a, b]. Нехай F буде функцією визначеною, для всіх x у [a, b], через

F(x) = \int_a^x\!f(t)\, dt.

Тоді, F є неперервною на [a, b], диференційовною на відкритому інтервалі (a, b), і

F'(x) = f(x)\,

для всіх x з (a, b).

Наслідок[ред.ред. код]

Фундаментальну теорему часто використовують для обчислення визначеного інтегралу функції f для якої відома первісна F. Конкретно, якщо f є дійсно-значимою неперервною функцію на [a, b], і F її первісна f у [a, b], тоді

\int_a^b f(t)\, dt = F(b)-F(a).

Цей наслідок припускає неперервність на всьому інтервалі. Цей вислід злегка посилюється наступною частиною теореми.

Друга частина[ред.ред. код]

Ця частина іноді згадується як друга фундаментальна теорема інтегрального числення[2] або формула Ньютона — Лейбніца (англ. Newton–Leibniz axiom).

Нехай f і F будуть дійсно-значимими функціями визначеними на закритому проміжку [a, b] такі, що похідна F є f. Тобто f і F — це функції такі, що для всіх x з [a, b],

F'(x) = f(x).\

Якщо f є інтегровною за Риманом на [a, b] тоді

\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a).

Друга частина є почасти сильнішою від Наслідку, бо вона не вимагає неперервності f.

Коли існує первісна F, тоді існує нескінченно багато первісних для f, отримуваних додаванням до F довільної сталої. Також, з першої частини теореми, первісна існує завжди, коли f неперервна.

Доведення першої частини[ред.ред. код]

Для заданої f(t), визначимо функцію F(x) як

F(x) = \int_a^x f(t) \,dt.

Для двох довільних чисел x1 і x1 + Δx з [a, b], маємо

F(x_1) = \int_{a}^{x_1} f(t) \,dt

і

F(x_1 + \Delta x) = \int_a^{x_1 + \Delta x} f(t) \,dt.

Відніманням отримуємо

F(x_1 + \Delta x) - F(x_1) = \int_a^{x_1 + \Delta x} f(t) \,dt - \int_a^{x_1} f(t) \,dt. \qquad (1)

Можна показати, що

\int_{a}^{x_1} f(t) \,dt + \int_{x_1}^{x_1 + \Delta x} f(t) \,dt = \int_a^{x_1 + \Delta x} f(t) \,dt.
(Сума площ двох суміжних регіонів дорівнює площі двох регіонів об'єднаних.)

Отже

\int_{a}^{x_1 + \Delta x} f(t) \,dt - \int_{a}^{x_1} f(t) \,dt = \int_{x_1}^{x_1 + \Delta x} f(t) \,dt.

Підставляємо попереднє в (1), що дає

F(x_1 + \Delta x) - F(x_1) = \int_{x_1}^{x_1 + \Delta x} f(t) \,dt. \qquad (2)

Згідно до теореми Лагранжа для інтегрування, існує дійсне число c(\Delta x) з [x1, x1 + Δx] таке, що

\int_{x_1}^{x_1 + \Delta x} f(t) \,dt = f\left(c(\Delta x)\right) \Delta x.

Для спрощення запису ми продовжуватимемо писати c замість c(\Delta x), але читач має усвідомлювати, що c залежить від \Delta x. Підставляючи попереднє у (2) отримуємо

F(x_1 + \Delta x) - F(x_1) = f(c) \Delta x.

Ділення на Δx дає

\frac{F(x_1 + \Delta x) - F(x_1)}{\Delta x} = f(c).
Вираз ліворуч від знаку рівності — відношення різниць Ньютона для F у x1.

Перейдемо до границь при Δx → 0 з обох боків рівняння.

\lim_{\Delta x \to 0} \frac{F(x_1 + \Delta x) - F(x_1)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} f(c).

Вираз ліворуч є визначенням похідної від F у x1.

F'(x_1) = \lim_{\Delta x \to 0} f(c). \qquad (3)

Для визначення другої границі використаємо стискну теорему. Число c лежіть у інтервалі [x1, x1 + Δx], отже x1cx1 + Δx.

Також, \lim_{\Delta x \to 0} x_1 = x_1 and \lim_{\Delta x \to 0} x_1 + \Delta x = x_1.\,

Тому, згідно до стискної теореми,

\lim_{\Delta x \to 0} c = x_1.

Підставляємо в (3) і отримуємо

F'(x_1) = \lim_{c \to x_1} f(c).

Функція f є неперервною в c, отже границю можна перенести в середину функції. Отже, ми маємо

F'(x_1) = f(x_1).\

Що завершує доведення.

(Leithold et al., 1996) (строге доведення ви можете знайти на http://www.imomath.com/index.php?options=438)

Доведення наслідку[ред.ред. код]

Припустимо F — первісна f, якщо f неперервна на [a, b]. Нехай

G(x) = \int_a^x f(t)\, dt.

З першої частини теореми, ми знаємо G також первісна f. З теореми Лагранжа випливає, що існує таке число c, що G(x) = F(x) + c, для всіх x з [a, b]. Поклавши x = a, маємо

F(a) + c = G(a) = \int_a^a f(t)\, dt = 0,

що значить c = − F(a). Інакше кажучи G(x) = F(x) − F(a), і отже

\int_a^b f(x)\, dx = G(b) = F(b) - F(a).

Доведення другої частини[ред.ред. код]

Доведення через суми Рімана.

Нехай f буде інтегровною за Ріманом на інтервалі [a, b], і нехай f має первісну F на [a, b]. Почнемо з величини F(b) − F(a). Нехай існують числа x1, ..., xn такі, що

a = x_0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_{n-1} < x_n = b. \,

З цього слідує

F(b) - F(a) = F(x_n) - F(x_0). \,

Тепер додамо кожне F(xi) разом із зворотнім до нього щодо додавання, отже вислідна величина дорівнює:

\begin{align}
F(b) - F(a)
&= F(x_n) + [-F(x_{n-1}) + F(x_{n-1})] + \cdots + [-F(x_1) + F(x_1)] - F(x_0) \\
&= [F(x_n) - F(x_{n-1})] + [F(x_{n-1}) + \cdots - F(x_1)] + [F(x_1) - F(x_0)].
\end{align}

Попереднє можна записати як таку суму:

F(b) - F(a) = \sum_{i=1}^n \,[F(x_i) - F(x_{i-1})]. \qquad (1)

Далі, використаємо теорему Лагранжа. Яка стверджує (коротко)

Нехай F є неперервною на замкненому відтинку [a, b] і диференційовною на відкритому інтервалі (a, b). Тоді існує деяке c з (a, b) таке, що

F'(c) = \frac{F(b) - F(a)}{b - a}.

З цього випливає, що

F'(c)(b - a) = F(b) - F(a). \,

Функція F диференційовна на [a, b]; отже, вона диференційовна і неперервна на кожному з інтервалів [xi−1, xi]. Згідно з теоремою Лагранжа,

F(x_i) - F(x_{i-1}) = F'(c_i)(x_i - x_{i-1}). \

Підставляючи попереднє в (1), отримуємо

F(b) - F(a) = \sum_{i=1}^n \,[F'(c_i)(x_i - x_{i-1})].

Припущення означає F'(c_i) = f(c_i). Також, x_i - x_{i-1} може бути виражено як \Delta x відтинку i.

F(b) - F(a) = \sum_{i=1}^n \,[f(c_i)(\Delta x_i)]. \qquad (2)
Східна послідовність сум Рімана. Число нагорі ліворуч є повною площею голубих прямокутників. Вони сходяться до інтегралу функції

Ми описуємо площу прямокутника через добуток ширини і висоти і додаємо площі. Кожен прямокутник, знов теорема Лагранжа, є наближенням секції кривої, де він намальований. Також \Delta x_i не обов'язково має бути однаковим для всіх i, інакше кажучи, ширина прямокутників може різнитися. Що нам потрібно зробити — приблизно задати криву через n прямокутників. Тепер, по мірі того як розмір кожного відтинку зменшується, а n збільшується, ми наближаємося до справжнього значення інтегралу кривої.

З переходом до границі, де розмір розбиття, найбільше \Delta x, прямує до нуля і відповідно кількість відтинків до нескінченності, ми досягаємо інтегралу Рімана. Границя існує, бо за припущенням f інтегровна.

Отже, ми переходимо до границі з обох у (2). Маємо

\lim_{\| \Delta x_i \| \to 0} F(b) - F(a) = \lim_{\| \Delta x_i \| \to 0} \sum_{i=1}^n \,[f(c_i)(\Delta x_i)].

Ані F(b), ні F(a) не є залежними від ||\Delta x_i\|, тому границя зліва залишається F(b) − F(a).

F(b) - F(a) = \lim_{\| \Delta x_i \| \to 0} \sum_{i=1}^n \,[f(c_i)(\Delta x_i)].

Вираз праворуч визначає інтеграл f від a до b. Отже, ми отримуємо

F(b) - F(a) = \int_a^b f(x)\,dx,

що й завершує доведення.

Це виглядає майже так наче перша частина безпосередньо випливає з другої. Тобто, припустимо G є первісною для f. Тоді згідно з другою частиною теореми, G(x) - G(a) = \int_a^x f(t) \, dt. Тепер, припустимо F(x) = \int_a^x f(t)\, dt\ = G(x) - G(a). Тоді F має таку саму похідну як і G, звідси F′ = f. Однак, цей довід працює лише якщо ми знаємо, що f має первісну, а ми знаємо, що неперервні функції мають первісну лише завдяки першій частині фундаментальної теореми.[3] Наприклад, якщо f(x) = ex2, тоді f має певісну, а саме

G(x) = \int_0^x f(t) \, dt\,

і не існує простішого виразу для цієї функції. Саме через не треба сприймати другу частину як визначення інтеграла. І справді, існує багато функцій які інтегровні, але на мають первісної яку можна записати у вигляді елементарних функцій. І навпаки, багато функцій, що мають первісну, неінтегровні за Риманом (дивись Функція Вольтерра).

Приклади[ред.ред. код]

Задля прикладу обчислимо таке:

\int_2^5 x^2\, dx.

Тут, f(x) = x^2 \, і ми можемо використати F(x) = \frac{x^3}{3} як первісну. Звідси

\int_2^5 x^2\, dx = F(5) - F(2) =  \frac{5^3}{3} - \frac{2^3}{3} = \frac{125}{3} - \frac{8}{3} = \frac{117}{3} = 39.

Або, загальніше, обчислимо

\frac{d}{dx} \int_0^x t^3\, dt

Тут, f(t) = t^3 \, і можна використати F(t) = \frac{t^4}{4} як первісну. Отже

\frac{d}{dx} \int_0^x t^3\, dt = \frac{d}{dx} F(x) - \frac{d}{dx} F(0) = \frac{d}{dx} \frac{x^4}{4} = x^3.

Або, тотожно,

\frac{d}{dx} \int_0^x t^3\, dt = f(x) \frac{dx}{dx} - f(0) \frac{d0}{dx} = x^3.

Дивіться також[ред.ред. код]

Примітки[ред.ред. код]

  1. Апостол 1967, §5.1
  2. Апостол 1967, §5.3
  3. Spivak, Michael (1980), Calculus (2nd вид.), Houston, Texas: Publish or Perish Inc. 

Джерела[ред.ред. код]