Формула Остроградського

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Формула Острогра́дського — формула, що виражає потік векторного поля через замкнену поверхню через інтеграл від дивергенції цього поля по об'єму, замкнутий під поверхнею.

Якщо векторне поле задане диференційовними функціями P(x, y, z), Q(x, y, z) та R(x, y, z), то

 \iiint\limits_V \left( \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} \right) dx dy dz = 
\iint\limits_S P dy dz + Q dx dz + R dx dy.

У векторній формі її можна переписати як

 \iiint\limits_V  \text{div}\, \mathbf{F} dV = \iint\limits_S \mathbf{F} d\mathbf{S} ,

де

 \mathbf{F} векторне поле.

Михайло Васильович Остроградський довів цю рівність у 1831 році.

Окремі випадки загальної формули були відомі й раніше. Двовимірний аналог цієї формули називають формулою Гріна, а сама формула також відома під назвою формула Гауса або формула Остроградського—Гауса.

Твердження формули є окремим випадком загальної теореми Стокса.

Теорема Остроградського застосовується при вивченні процесів, які описуються векторними полями (напр., гравітаційним полем, полем напруг, електромагнітним та магнітним полями, полем швидкостей рідини тощо).

Джерела[ред.ред. код]