Формула Стірлінґа

Відношення (ln n!) до (n ln n − n) при n прямуючому до нескінченості прямує до 1.

Формула Стірлінґа є наближенням для факторіалів при великих значеннях n, названа на честь Джеймса Стірлінґа. Формальне твердження формули

$\lim_{n \to \infty}{n! \over {n^n e^{-n} \sqrt{2 \pi n}}} = 1$

або

$n! \approx n^n e^{-n} \sqrt{2 \pi n}\ \ \ \ \ \ \ \ \ (n \to \infty)$

Збіжність та похибки

Формула Стірлінґа отримується із Асимптотичного розкладу Стірлінга для $\Gamma(z)$ та $n!$:

$\Gamma(z) = e^{-z}z^{z-1/2}\sqrt{2\pi}\begin{bmatrix}1+{1 \over {12z}}+{1 \over{288z^2}}-{139 \over {51840z^3}}-{571 \over {2488320z^4}}+O(z^{-5})\end{bmatrix}$

де $(\begin{vmatrix}arg\ z\end{vmatrix}<\pi)$ (ряд Стірлінґа)

Ряд Стірлінґа особливо корисний для великих значень $\begin{vmatrix}z\end{vmatrix}$: для дійсних додатніх z абсолютна похибка менша ніж абсолютна величина останнього із взятих елементів ряду.

Рядом Стірлінґа також називається асимптотичний розклад логарифму від n!:

$\log n!=n\log n - n + {1\over 2}\log(2\pi n) +{1\over12n} -{1\over360n^3} +{1\over1260n^5} -{1\over 1680n^7} +\cdots$

Відносна похибка формули Стірлінґа спадає із зростанням n, ця формула часто використовується для обчислення відношення двох факторіалів аба гамма-функцій, оскільки в цьому випадку відносна похибка особливо важлива. Зауважимо зокрема що Формула Стірлінґа є просто першим наближенням для ряду Стірлінґа.

Спеціальні формули

$n^n e^{-n} \sqrt{2 \pi n} < n! < n^n \sqrt{2 \pi n} e^{-n + {1 \over {12n}}}$

та

$n! \approx n^n \sqrt{2 \pi n} e^{-n + {1 \over {12n}} - {1 \over {360n^2}} + ...}$

при $n \to \infty$

Доведення

Формулу та оцінку похибок можна отримати, розглядаючи натуральний логарифм

$\ln(n!) = \ln(1) + \ln(2) + ... + \ln(n) \!$;

та використовуючи формулу Ейлера — Маклорена для отримання формули у логарифмічній формі:

$\ln n! \approx \left(n+\frac{1}{2}\right)\ln n - n +\ln\left(\sqrt{2\pi}\right)$

Або можна її отримати із використанням методу найшвидшого спуску.

Історія

Формулу вперше відкрив Абрахам де Муавр у формі

$n!\sim [{\rm constant}]\cdot n^{n+1/2} e^{-n}$

Стірлінґ встановив що константа дорівнює $\sqrt{2\pi}$.

Джерела

• Підкуйко, Сергій (2004). Математичний аналіз — Т.1. Множини. Дійсні числа. Границя послідовності. Границя функції. Неперервність функції. Диференціальне числення функцій однієї змінної. Львів: Галицька видавнича спілка. с. 530. ISBN 966-7893-26-Х . 
• Г. Корн и Т. Корн "Справочник по математике для научних работников и инженеров"