Формула Торрічеллі

Демонстрація закономірностей витікання рідини через отвір у тонкій стінці, що описуються формулою Торічеллі

Фо́рмула (зако́н) Торіче́ллі  — формула для визначення швидкості витікання рідини з отвору у тонкій стінці відкритої посудини:

$V = \sqrt{2gh},$

де: $V$ — швидкість витікання рідини з отвору;

$h$ — висота стовпа рідини в посудині;

$g$ — прискорення вільного падіння.

Вона показує, що при витіканні ідеальної нестисливої ​​рідини з отвору в широкій посудині рідина набуває швидкості, яку отримало б тіло, що вільно падає з висоти $h$. Вперше встановлена Е. Торрічеллі в 1641 році.

Доведення

Скористаємось рівнянням Бернуллі, записаним у вигляді:

$gz+{p\over\rho}+{V^2 \over 2}=\text{constant}$

де: $V$ — швидкість руху рідини;

$z$ — висота підняття рідини у розглядуваній точці відносно площини відліку (площини порівняння);

$p$ — тиск у розглядуваній точці;

$\rho$ — густина (питома маса) рідини.

Приймемо, що отвір знаходиться на висоті z = 0. У верхній частині бака, тиск p дорівнює атмосферному тиску і швидкістьV можна вважати нульовою, так як швидкість опускання рівня у баку значно менша, ніж швидкість витікання рідини з бака. На отворі, z=0 і тиск p знову ж таки рівний атмосферному. Тоді рівняння Бернуллі для двох перерізів: на поверхні рідини у баку і перерізу отвору з врахуванням зроблених вище допущень, запишуться:

$gz+{p_{atm}\over\rho}={V^2 \over 2}+{p_{atm}\over\rho}$

$\Rightarrow V^2=2gz\,$

$\Rightarrow V=\sqrt{2gz}$

z відповідає h, обумовленому на початку, тому:

$V=\sqrt{2gh}$

Формула Торрічеллі для в'язкої рідини

Дійсна ж швидкість витікання дещо відрізняється від швидкості, яка визначається формулою Торрічеллі: вона залежить від форми і розміру отвору, від в'язкості рідини та величини витрати. Для врахування цих обставин у формулу Торрічеллі вводять поправочний множник, що завжди менший від одиниці. Тоді формула набуває вигляду:

$V = \phi \sqrt{2gh},$

де $\phi$ — коефіцієнт швидкості при витіканні рідини з отвору.

Для малого круглого отвору при великих числах Рейнольдса він дорівнює $\phi = 0,94...0,99$. Значення $\phi$ для отворів інших форм і розмірів наводяться в довідниках з гідравліки.

Джерела

• Левицький Б. Ф., Лещій Н. П. Гідравліка. Загальний курс. - Львів: Світ, 1994. - 264с.
• Константінов Ю. М., Гіжа О. О. Технічна механіка рідини і газу: Підручник.- К.: Вища школа, 2002.-277с.:іл.
• Кулінченко В. Р. Гідравліка, гідравлічні машини і гідропривід: Підручник.-Київ: Фірма «Інкос», Центр навчальної літератури, 2006.-616с.
• Колчунов В. І. Теоретична та прикладна гідромеханіка: Навч. Посібник.-К.: НАУ, 2004.-336с.