Формула Фейнмана — Каца

Формула Фейнмана-Каца, названа на честь Річарда Фейнмана і Марка Каца — формула взаємозв'язку між рівняннями частинних похідних і стохастичними процесами. З допомогою цієї формули можна розв'язувати певні типи РЧП за допомогою симуляції траєкторій стохастичних процесів. Навпаки, стохастичні рівняння частинних похідних можна розв'язувати методами звичайних РЧП без залучення стохастичних методів.

Формулювання

Нехай маємо РЧП:

$\frac{\partial f}{\partial t} + \mu(x,t) \frac{\partial f}{\partial x} + \frac{1}{2} \sigma^2(x,t) \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 0$

і умову

$\ f(x,T)=\psi(x)$

де $\mu,\ \sigma,\ \psi$ - відомі функції, $\ T$ — параметр і $\ f$ невідома функція. Це рівняння відоме під назвою рекурентне рівняння Колмогорова (одновимірне). Тоді формула Фейнмана-Каца полягає в тому, що розв'язок цієї задачі записується як математичне сподівання:

$\ f(x,t) = E[ \psi(X_T) | X_t=x ]$

де $\ X$ — процес Іто, що описується рівнянням

$dX = \mu(X,t)\,dt + \sigma(X,t)\,dW,$

де $\ W(t)$ — Вінерівський процес (іноді можна зустріти назву Броунівський рух) і початкова умова для $\ X(t)$ є $\ X(0) = x$. Це математичне сподівання можна обчислити (наближено з певною точністю) використовуючи Метод Монте-Карло чи квазі Монте-Карло методи.

Доведення

Застосувавши лему Іто до невідомого процесу $\displaystyle f(X_t,t)$ можна отримати

$df=\left(\mu(x,t)\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial t}+\frac{1}{2}\sigma^2(x,t)\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}\right)\,dt+\sigma(x,t)\frac{\partial f}{\partial x}\,dW.$

Вираз у перших дужках є РЧП згадане вище і тому цей вираз рівний нулю за припущенням. Тепер проінтегрувавши обидві частини рівняння отримаємо

$f(X_T,T)-f(x,t)=\int_t^T df=\int_t^T\sigma(x,t)\frac{\partial f}{\partial x}\,dW.$

Після тривіальних перетворень візьмемо математичне сподівання обидвох частин рівності:

$f(x,t)=\textrm{E}\left[f(X_T,T)\right]-\textrm{E}\left[\int_t^T\sigma(x,t)\frac{\partial f}{\partial x}\,dW\right].$

Оскільки матсподівання інтеграла Іто по Вінерівському процесі $\displaystyle W$ дорівнює нулю отримаємо бажаний результат:

$f(x,t)=\textrm{E}\left[f(X_T,T)\right]=\textrm{E}\left[\psi(X_T)\right]=\textrm{E}\left[\psi(X_T)|X_t=x\right].$

Див. також

• Лема Іто
• Теорема Куніта-Ватанабе
• Теорема Ґірсанова
• Рекурентне рівняння Колмогорова

Література

• Оксендаль Б. Стохастические дифференциальные уравнения. Введение в теорию и приложения. — М.: Мир, 2003. — 408 с.
• Protter P. E. Stochastic Integration and Differential Equations. — Springer, 2005.
• Simon B. Functional Integration and Quantum Physics. — Academic Press, 1979.