Формула повної ймовірності

Формула повної ймовірності дозволяє обчислити ймовірність деякої події через умовні ймовірності цієї події в припущенні якихось гіпотез, а також ймовірностей цих гіпотез.

Визначення

Нехай дано імовірнісний простір $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$, і повна група подій $\{B_n\}_{n=1}^{\infty} \subset \mathcal{F}$, таких що $\mathbb{P}(B_n) > 0\; \forall n$. Хай $A \in \mathcal{F}$ подія, що цікавить нас. Тоді

$\mathbb{P}(A) = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \mathbb{P}( A \mid B_n)\mathbb{P}(B_n)$.

Зауваження

Формула повної ймовірності також має наступну інтерпретацію. Нехай $N$ - випадкова величина, що має розподіл

$\mathbb{P}(N=n) = \mathbb{P}(B_n)$.

Тоді

$\mathbb{P}(A) = \mathbb{E}\left[\mathbb{P}(A\mid N)\right]$,

тобто апріорна ймовірність події рівна середньому його апостеріорної ймовірності.

Приклад

Задача:

Припустімо, прогноз погоди показує, що завтра з ймовірністю 0.6 (60%) буде сонячна погода. Відповідно те, що погода буде дощовою, дорівнює 0.4 (так як сума імовірностей подій, що складають повну групу дорівнює одиниці, тобто 100 відсоткам).

Також в нас є деякі дані по прогнозу на післязавтра:

Якщо завтра буде сонячно, то ймовірність того, що післязавтра буде сонячно дорівнює 0.7

P(D2 = сонячно | D1 = сонячно) = 0.7

Якщо завтра буде дощ, то ймовірність того, що післязавтра буде сонячно дорівнює 0.4

P(D2 = сонячно | D1 = дощ) = 0.4

Знайти ймовірність того, що післязавтра буде сонячно.

Розв'язок:

Необхідно знайти дві події:

1. ймовірність того що і завтра і післязавтра буде сонячно. Вирахуємо це по теоремі добутку залежних подій:

P(D2 = сонячно | P(D1 = сонячно)) * P(D1 = сонячно) = 0.7*0.6 = 0.42

2. Ймовірність того що завтра буде дощ а післязавтра буде сонячно.

P(D2 = сонячно | P(D1 = дощ)) * P(D1 = дощ) = 0.4*0.4 = 0.16

Після цього, необхідно скласти ймовірності цих двох подій. В результаті отримаємо ймовірність сонячної погоди післязавтра рівною 58%

Дивіться також

• Імовірність;
• Умовна ймовірність;
• Умовне математичне сподівання;
• Теорема Баєса.