Формули скороченого множення

Формули скороченого множення — поширені випадки множення многочленів. Багато з них є окремими випадками біному Ньютона.

Вивчаються у шкільному курсі алгебри.

Пишеться	Читається
Формули для квадратів
$\ (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$	квадрат суми двох виразів дорівнює квадрат першого виразу додати подвоєний добуток цих виразів додати квадрат другого виразу.
$\ (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$	квадрат різниці двох виразів дорівнює квадрат першого виразу відняти подвоєний добуток цих виразів додати квадрат другого виразу.
$\ a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$	різниця квадратів двох виразів дорівнює добутку різниці та суми цих виразів.
$\ (a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2ac+2bc$	квадрат суми трьох виразів дорівнює квадрат першого виразу додати квадрат другого виразу додати квадрат третього виразу додати подвоєний добуток першого та другого виразу додати подвоєний добуток першого та третього виразу додати подвоєний добуток другого та третього виразу.
$\ (a-b-c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}-2ab-2ac+2bc$	квадрат різниці трьох виразів дорівнює квадрат першого виразу додати квадрат другого виразу додати квадрат третього виразу відняти подвоєний добуток першого та другого виразу відняти подвоєний добуток першого та третього виразу додати подвоєний добуток другого та третього виразу.
Формули для кубів
$\ (a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}$ $\ (a+b)^{3}=a^{3}+3ab(a+b)+b^{3}$	куб суми двох виразів дорівнює куб першого виразу додати потроєний добуток квадрата першого та другого виразу додати потроєний добуток першого та квадрата другого виразу, додати куб другого виразу.
$\ (a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}$ $\ (a-b)^{3}=a^{3}-3ab(a-b)-b^{3}$	куб різниці двох виразів дорівнює куб першого виразу відняти потроєний добуток квадрата першого та другого виразу додати потроєний добуток першого та квадрата другого виразу, відняти куб другого виразу.
$\ a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})$	сума кубів двох виразів дорівнює добутку суми цих виразів та неповного квадрата різниці цих виразів (квадрат першого виразу відняти добуток цих виразів, додати квадрат другого виразу).
$\ a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})$	різниця кубів двох виразів дорівнює добутку різниці цих виразів та неповного квадрата суми цих виразів (квадрат першого виразу додати добуток цих виразів, додати квадрат другого виразу).
$\ a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)$	різниця суми кубів трьох виразів та їх потроєного добутку дорівнює добутку суми трьох виразів і квадрату першого вираза додати квадрат другого вираза додати квадрат третього вираза відняти добуток першого та друго виразів відняти добуток друго та третього виразів відняти добуток третього та першого виразів.
Формули для четвертого степеня
$\ (a+b)^{4}=a^{4}+4a^{3}b+6a^{2}b^{2}+4ab^{3}+b^{4}$	в четвертому степені сума двох виразів дорівнює в четвертому степені перший вираз додати помножений на 4 добуток кубу першого та другого виразу додати помножений на 6 добуток квадрата першого та квадрата другого виразу додати помножений на 4 добуток першого та кубу другого виразу додати в четвертому степені другий вираз.
$\ (a-b)^{4}=a^{4}-4a^{3}b+6a^{2}b^{2}-4ab^{3}+b^{4}$	в четвертому степені різниця двох виразів дорівнює в четвертому степені перший вираз відняти помножений на 4 добуток кубу першого та другого виразу додати помножений на 6 добуток квадрата першого та квадрата другого виразу відняти помножений на 4 добуток першого та кубу другого виразу додати в четвертому степені другий вираз.

Формули для степеня n

• $a^{n}-b^{n}=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}+...+a^{2}b^{n-3}+ab^{n-2}+b^{n-1})$

• $a^{2n}-b^{2n}=(a+b)(a^{2n-1}-a^{2n-2}b+a^{2n-3}b^{2}-...-a^{2}b^{2n-3}+ab^{2n-2}-b^{2n-1})$, де $n\in N$

• $a^{2n+1}+b^{2n+1}=(a+b)(a^{2n}-a^{2n-1}b+a^{2n-2}b^{2}-...-a^{2}b^{2n-2}-ab^{2n-1}+b^{2n})$, де $n\in N$

Див. також

• Біном

Джерела

• Завало С. Т. (1985). Курс алгебри. Київ: Вища школа. с. 503. (укр.)