Фундаментальна група

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Фундаментальною групою в алгебраїчній топології і пов'язаних з нею областях математики, називається алгебраїчний об'єкт, який зіставляється топологічному простору і вимірює, грубо кажучи, кількість дірок в ньому. Наявність дірки визначається неможливістю неперервно стягнути деяку замкнуту петлю в точці. Фундаментальна група є першою гомотопічною групою.

Означення[ред.ред. код]

Нехай \ Xтопологічний простір, і \ x_0 — точка в \ X, яку називатимемо відміченою. Розглянемо множину неперервних відображень \ f\colon [0,1] \to X, таких що \ f(0) = f(1) = x_0. Такі функції називаються петлями в точці \ x_0.

  • Добутком двох петель називається петля, що визначається їх послідовним проходженням:
(f*g)(t) = \begin{cases}
f(2t), ~ t\in [0, {1 \over 2}] \\
g(2t-1), ~ t\in [{1 \over 2},1]
\end{cases}
  • Оберненою до петлі f є петля
\overline f(t) = f(1 - t) для t \in [0, 1]. Одиничною петлею буде \varepsilon_{x_0}(t) = x_0 для кожного t \in [0,1] \subset \R.

Добутком двох гомотопічних класів [f] і [g] називається гомотопічний клас [f*g] добутку петель. Множина гомотопічних класів петель з таким добутком стає групою. Одиницею групи є клас тотожної, або нерухомої петлі, оберненим елементом — клас петлі, пройденої у зворотному напрямі. Ця група і називається фундаментальною групою простору X з відміченою точкою x_0 і позначається \pi_1(X,x_0).

Усі подані вище означення мають сенс оскільки виконується:

  • Якщо \alpha \sim \alpha'\, і \beta \sim \beta'\,, то \alpha * \beta \sim \alpha' * \beta'\,.
  • Для \alpha, \beta, \gamma\, виконується (\alpha * \beta) * \gamma \sim \alpha * (\beta * \gamma)\,.
  • Для довільної петлі \alpha\, існує \varepsilon_{x_0} * \alpha \sim \alpha * \varepsilon_{x_0} \sim \alpha\, і \alpha * \overline \alpha \sim \overline \alpha * \alpha \sim \varepsilon_{x_0}\,.

Якщо Xлінійно зв'язний простір, то з точністю до ізоморфізму фундаментальна група не залежить від відміченої точки. Тому для таких просторів можна писати \pi_1(X) замість \pi_1(X,x_0) не боячись викликати плутанину.

Приклади[ред.ред. код]

  • У \R^n, є тільки один гомотопічний клас петель. Отже, фундаментальна група тривіальна, тобто (\{0\},+).
  • Одновимірні сфери S^1 (кола). Кожен гомотопічний клас складається з петель, які навиваються на коло задане число раз, яке може бути додатнім або від'ємним залежно від напряму. Отже, фундаментальна група одновимірної сфери ізоморфна (\Z, +).
  • Фундаментальна група орієнтованої замкнутої поверхні роду g може бути задана твірними a_1,\dots,a_g,b_1,\dots,b_g з єдиним співвідношенням: a_1b_1a_1^{-1}b_1^{-1} \dots a_gb_ga_g^{-1}b_g^{-1}=1.
  • Фундаментальною групою графа «вісімки» є вільна група з двома породжуючими елементами.

Властивості[ред.ред. код]

  • Вільні групи і лише вони можуть бути реалізовані як фундаментальні групи графів.
  • Довільна група може бути реалізована як фундаментальна група двовимірного клітинного комплексу.
  • Довільна скінченно задана група може бути реалізована як фундаментальна група замкнутого 4-мірного многовиду.

Посилання[ред.ред. код]

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  1. Isadore Singer and John A. Thorpe, Lecture Notes on Elementary Geometry and Topology, Springer-Verlag (1967) ISBN 0-387-90202-3
  2. Allen Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge University Press (2002) ISBN 0-521-79540-0