Фундаментальна група

Фундаментальною групою в алгебраїчній топології і пов'язаних з нею областях математики, називається алгебраїчний об'єкт, який зіставляється топологічному простору і вимірює, грубо кажучи, кількість дірок в ньому. Наявність дірки визначається неможливістю неперервно стягнути деяку замкнуту петлю в точці. Фундаментальна група є першою гомотопічною групою.

Означення

Нехай $\ X$ — топологічний простір, і $\ x_0$ — точка в $\ X$, яку називатимемо відміченою. Розглянемо множину неперервних відображень $\ f\colon [0,1] \to X$, таких що $\ f(0) = f(1) = x_0$. Такі функції називаються петлями в точці $\ x_0$.

• Дві петлі $f$ і $g$ вважаються еквівалентними, якщо вони гомотопні одна одній. Відповідні класи еквівалентності називаються гомотопічними класами.

• Добутком двох петель називається петля, що визначається їх послідовним проходженням:

$(f*g)(t) = \begin{cases} f(2t), ~ t\in [0, {1 \over 2}] \\ g(2t-1), ~ t\in [{1 \over 2},1] \end{cases}$

• Оберненою до петлі $f$ є петля

$\overline f(t) = f(1 - t)$ для $t \in [0, 1]$. Одиничною петлею буде $\varepsilon_{x_0}(t) = x_0$ для кожного $t \in [0,1] \subset \R$.

Добутком двох гомотопічних класів $[f]$ і $[g]$ називається гомотопічний клас $[f*g]$ добутку петель. Множина гомотопічних класів петель з таким добутком стає групою. Одиницею групи є клас тотожної, або нерухомої петлі, оберненим елементом — клас петлі, пройденої у зворотному напрямі. Ця група і називається фундаментальною групою простору $X$ з відміченою точкою $x_0$ і позначається $\pi_1(X,x_0)$.

Усі подані вище означення мають сенс оскільки виконується:

• Якщо $\alpha \sim \alpha'\,$ і $\beta \sim \beta'\,$, то $\alpha * \beta \sim \alpha' * \beta'\,$.
• Для $\alpha, \beta, \gamma\,$ виконується $(\alpha * \beta) * \gamma \sim \alpha * (\beta * \gamma)\,$.
• Для довільної петлі $\alpha\,$ існує $\varepsilon_{x_0} * \alpha \sim \alpha * \varepsilon_{x_0} \sim \alpha\,$ і $\alpha * \overline \alpha \sim \overline \alpha * \alpha \sim \varepsilon_{x_0}\,$.

Якщо $X$ — лінійно зв'язний простір, то з точністю до ізоморфізму фундаментальна група не залежить від відміченої точки. Тому для таких просторів можна писати $\pi_1(X)$ замість $\pi_1(X,x_0)$ не боячись викликати плутанину.

Приклади

• У $\R^n$, є тільки один гомотопічний клас петель. Отже, фундаментальна група тривіальна, тобто $(\{0\},+)$.

• Одновимірні сфери $S^1$ (кола). Кожен гомотопічний клас складається з петель, які навиваються на коло задане число раз, яке може бути додатнім або від'ємним залежно від напряму. Отже, фундаментальна група одновимірної сфери ізоморфна $(\Z, +)$.

• Фундаментальна група орієнтованої замкнутої поверхні роду $g$ може бути задана твірними $a_1,\dots,a_g,b_1,\dots,b_g$ з єдиним співвідношенням: $a_1b_1a_1^{-1}b_1^{-1} \dots a_gb_ga_g^{-1}b_g^{-1}=1$.

• Фундаментальною групою графа «вісімки» є вільна група з двома породжуючими елементами.

Властивості

• Вільні групи і лише вони можуть бути реалізовані як фундаментальні групи графів.
• Довільна група може бути реалізована як фундаментальна група двовимірного клітинного комплексу.
• Довільна скінченно задана група може бути реалізована як фундаментальна група замкнутого 4-мірного многовиду.

Посилання

• Фундаментальна група на сайті PlanetMath

Див. також

• Фундаментальна область

Література

1. Isadore Singer and John A. Thorpe, Lecture Notes on Elementary Geometry and Topology, Springer-Verlag (1967) ISBN 0-387-90202-3
2. Allen Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge University Press (2002) ISBN 0-521-79540-0