Функціональний ряд

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Функціональний ряд — ряд, кожен член якого є деякою функцією від однієї чи багатьох незалежних змінних.

Сума вигляду

u_1(x) + u_2(x) + \cdots + u_k(x) + \cdots = \sum_{k=1}^{\infty}u_k(x).

називається функціональним рядом відносно незалежної змінної  x , а

послідовність функцій  \{{u_k}(x)\}, k\in\mathbb{N}, відповідно — функціональною послідовністю.

Важливе значення у математиці мають функціональні ряди спеціального вигляду, такі як степеневі, коли функція  u_k(x)=a_k(x-x_0)^k, x_0,a_k\in\mathbb{R}, (зокрема, ряд Тейлора та ряд Лорана) та тригонометричні ряди,  u_k(x)=a_k\sin(kx)+b_k\cos(kx), a_k,b_k\in\mathbb{R}, (наприклад, ряд Фур'є).

Зміст

Функціональна послідовність[ред.ред. код]

Нехай задана послідовність функцій  \{{u_k}(x)\}, k\in\mathbb{N}, (взагалі кажучи комплекснозначних) на деякій підмножині D евклідового простору \mathbb{R}^n.

u_k(x): D \mapsto \mathbb{C},\quad D \subseteq \mathbb{R}^n,~~ k\in \mathbb{N}.

Поточкова збіжність[ред.ред. код]

Функціональна послідовність  \{{u_k}(x)\}, k\in\mathbb{N}, збігається в точці  x_0\in\mathbb{R}^n , якщо, відповідно збігається числова послідовність  \{{u_k}(x_0)\}, k\in\mathbb{N},, тобто існує \lim\nolimits_{k \rightarrow \infty} u_k(x_0)=u_0. Очевидно, що ця границя залежить від вибору точки  x_0 , тобто є деякою функцією.

Функціональна послідовність  \{{u_k}(x)\}, k\in\mathbb{N}, збігається поточково на множині D до функції u(x), якщо вона збігається в кожній точці цієї множини. Іншими словами

\forall x\in D \;\;\;\exists\lim_{k \rightarrow \infty} u_k(x)=u(x).

Рівномірна збіжність[ред.ред. код]

Функціональна послідовність  \{{u_k}(x)\}, k\in\mathbb{N}, збігається рівномірно на множині D до функції u(x), якщо

\lim_{k \rightarrow \infty}\sup\mid u_k(x) - u(x)\mid\longrightarrow 0,~~ x\in D.

Факт равномірної збіжності послідовності \ \{{u_k}(x)\}, k\in\mathbb{N}, до функції  u(x) записується так:  u_k(x)\rightrightarrows u(x).

Критерій Коші рівномірної збіжності функціональної послідовності[ред.ред. код]

Функціональна послідовність \{u_k(x)\} є рівномірно збіжною на множині D тоді і тільки тоді, коли

\forall \varepsilon >0 \quad \exist N\in\mathbb{N} \quad \forall x \in D \quad \forall m,n: m,n>N \quad  |u_n(x)-u_m(x)|< \varepsilon.

Справедливі такі твердження:

а) Якщо  u_k(x)\rightrightarrows u(x),  v_k(x)\rightrightarrows v(x) на  D, то  (u_k(x)\pm v_k(x))\rightrightarrows (u(x)\pm v(x));

б) Якщо  u_k(x)\rightrightarrows u(x), а  g(x):D\rightarrow\mathbb{R} — обмежена функція, то  g(x)u_k(x)\rightrightarrows g(x)u(x).

Функціональний ряд[ред.ред. код]

Нехай  S_n(x) = \sum\nolimits_{k=1}^{n}u_k(x) — n-на частинна сума ряду \sum\nolimits_{k=1}^{\infty}u_k(x), x \in D\subset\mathbb{R}.

Збіжність функціональних рядів[ред.ред. код]

Ряд збігається поточково до функції S(x), якщо послідовність  \{S_n(x)\}, n\in\mathbb{N}, його частинних сум збігається поточково до S(x).

Ряд збігається рівномірно, якщо послідованість S_n(x) його частинних сум збігається рівномірно,  S_n(x)\rightrightarrows S(x).

Функція S(x) називається сумою ряду \sum\nolimits_{k=1}^{\infty}u_k(x),

 S(x) = \sum_{k=1}^{\infty}u_k(x).

Множина тих точок E\subset D, для яких ряд \sum\nolimits_{k=1}^{\infty}u_k(x) збігається, називається областю збіжності ряду.

Зв'язок між рівномірною та поточковою збіжністю функціонального ряду[ред.ред. код]

Якщо ряд є рівномірно збіжним у деякій області, то він, очевидно, є поточково збіжним у цій області. Навпаки невірно.

Твердження 1. Поточково збіжний функціональний ряд \sum\nolimits_{k=1}^{\infty}u_k(x) є рівномірно збіжним на D тоді і тільки тоді, коли

\forall \varepsilon >0 \quad \exist N\in\mathbb{N} \quad \forall n: n>N  \quad \forall x \in D   \quad  
\left|\sum_{k=n+1}^{\infty} u_k(x)\right|< \varepsilon.

або, що те саме

 \lim_{n\rightarrow\infty}\sup_{x \in D}\left|\sum_{k=n+1}^{\infty} u_k(x)\right|=0.

Необхідна умова рівномірної збіжності[ред.ред. код]

Для того, щоб ряд \sum\nolimits_{k=1}^{\infty}u_k(x) збігався рівномірно на D необхідно, щоб  u_k(x)\rightrightarrows 0 на D при k\rightarrow\infty.


Критерій Коші рівномірної збіжності функціонального ряду[ред.ред. код]

Ряд \sum\nolimits_{k=1}^{\infty}u_k(x) є рівномірно збіжним на D тоді і тільки тоді, коли

\forall \varepsilon >0 \quad \exist N\in\mathbb{N} \quad \forall n: n>N \quad \forall p\in\mathbb{N} \quad \forall x \in D   \quad  
\left|\sum_{k=n}^{n+p} u_k(x)\right|< \varepsilon.

Абсолютно та умовно збіжні ряди[ред.ред. код]

Ряд  \sum\nolimits_{k=1}^{\infty}u_k(x) називається абсолютно збіжним на D, якщо для будь-якого x\in D ряд \sum\nolimits_{k=1}^{\infty} |{u_k}(x)| збігається.

Довільна перестановка членів абсолютно збіжного ряду не впливає на його суму.

Якщо ряд  \sum\nolimits_{k=1}^{\infty}u_k(x) збігається, а  \sum\nolimits_{k=1}^{\infty} |u_k(x)| — розбіжний, то ряд  \sum\nolimits_{k=1}^{\infty}u_k(x) називається умовно збіжним. Для таких рядів справделива Теорема Рімана про умовно збіжний ряд.

Ознаки рівномірної збіжності функціонального ряду[ред.ред. код]

Ознака порівняння та ознака Вейєрштрасса[ред.ред. код]

Нехай

1) ряди  \sum\nolimits_{k=1}^{\infty}u_k(x) та  \sum\nolimits_{k=1}^{\infty}v_k(x) такі, що  |u_k(x)|\leqslant v_k(x) для всіх  x\in D ;

2) ряд \sum\nolimits_{k=1}^{\infty}v_k(x) рівномірно збіжний на D.

Тоді ряд  \sum\nolimits_{k=1}^{\infty}u_k(x) абсолютно та рівномірно збіжний на D.

Ряд  \sum\nolimits_{k=1}^{\infty}v_k(x) називається мажоруючим рядом по відношенню до ряду  \sum\nolimits_{k=1}^{\infty}u_k(x).

Наслідок (мажорантна ознака Вейєрштрасса рівномірної збіжності ряду)

Якщо члени функціонального ряду  \sum\nolimits_{k=1}^{\infty}u_k(x) задовольняють умову

 \forall x\in D \quad \forall k\in \mathbb{N} \quad |u_k(x)|\leqslant c_k, \quad c_k\in \mathbb{R},

причому

\sum_{k=1}^{\infty}c_k < +\infty,

то цей ряд є абсолютно та рівномірно збіжним на D.

Ознака Діріхле[ред.ред. код]

Нехай функції u_k(x) та v_k(x), k\in\mathbb{N}, визначені на множині D, причому

1) послідовність частинних сум  S_n(x)=\sum\nolimits_{k=1}^{n}u_k(x) обмежена, тобто

\exist M>0 \quad \forall n\in\mathbb{N} \quad \forall x\in D \qquad \left|\sum_{k=1}^{n}u_k(x)\right| \leqslant M ;

2) послідовність функцій \{v_k(x)\}, k\in\mathbb{N}, монотонна, тобто v_k(x)\geqslant v_{k+1}(x) для всіх x \in D , та  v_k(x)\rightrightarrows 0.

Тоді ряд  \sum\nolimits_{k=1}^{\infty}u_k(x)v_k(x) рівномірно збіжний на множині D.

Ознака Абеля[ред.ред. код]

Нехай

1) ряд  \sum\nolimits_{k=1}^{\infty}u_k(x) рівномірно збігається на D;

2) послідовність \{v_k(x)\}, k\in\mathbb{N}, монотонна та обмежена на D, тобто

\exist M>0 \quad \forall n\in\mathbb{N} \quad \forall x\in D \qquad \left|v_k(x)\right| \leqslant M .

Тоді ряд  \sum\nolimits_{k=1}^{\infty}u_k(x)v_k(x) рівномірно збіжний на множині D.

Властивості рівномірно збіжних функціональних послідовностей та рядів[ред.ред. код]

Неперервність[ред.ред. код]

Теорема 1. (про граничний перехід)

Нехай u_k(x)\rightrightarrows u(x) на деякому проміжку (a,b)\subseteq\mathbb{R} та існує скінченна границя

\lim_{x\rightarrow c} u_k(x)=c_k, \quad k=1,2,\ldots,

Тоді послідовність \{c_k\} збіжна і

\lim_{x\rightarrow c} u_k(x)=\lim_{k\rightarrow \infty} c_k.

Іншими словами

\lim_{k\rightarrow \infty}\left(\lim_{x\rightarrow c} u_k(x)\right)=\lim_{x\rightarrow c}\left(\lim_{k\rightarrow \infty} u_k(x)\right)=\lim_{x\rightarrow c}u(x).

Наслідок

Границя рівномірно збіжної послідовності неперервних функцій є неперервною функцією.

Теорема 2. (про неперервність суми функціонального ряду)

Якщо функціональний ряд  \sum\nolimits_{k=1}^{\infty}u_k(x) рівномірно збігається на множині D до функції S(x), а його члени u_k(x) — неперервні на цій множині функції, то його сума S(x) є неперервною на D функцією, тобто

\lim_{x\rightarrow x_0} \left(\sum_{k=1}^{\infty}u_k(x)\right)=\lim_{x\rightarrow x_0}S(x)=S(x_0)=\sum_{k=1}^{\infty}u_k(x_0)=\sum_{k=1}^{\infty}\left(\lim_{x\rightarrow x_0} u_k(x)\right).

Теорема Діні[ред.ред. код]

Нехай -\infty<a<b<+\infty. Якщо послідовність \{u_k\} неперервних на [a,b] функцій при кожному x\in [a,b] незростаюча (або неспадна) і збігається поточково до u(x), де u(x) неперервна на [a,b], то така збіжність є рівномірною.

Наслідок

Якщо ряд  \sum\nolimits_{k=1}^{\infty}u_k(x) збігається (поточково) на відрізку [a,b] до неперервної функції S(x), а функції u_k(x) — неперервні, причому u_k(x)>0 для всіх x\in [a,b], то ряд  \sum\nolimits_{k=1}^{\infty}u_k(x) збігається рівномірно на [a,b] до функції S(x).

Інтегрування[ред.ред. код]

Теорема 3. (про граничний перехід під знаком інтеграла)

Нехай -\infty<a<b<+\infty. Якщо послідовність \{u_k(x)\} інтегровних за Ріманом (Лебегом) на [a,b] функцій рівномірно збігається до функції u(x), то функція u(x) інтегровна за Ріманом (Лебегом) і

\int\limits_a^bu(x)dx=\lim_{k\rightarrow \infty}\int\limits_a^bu_k(x)dx.

Для інтеграла в сенсі Лебега встановлено загальніший результат, який не має аналогу для інтеграла Рімана, а саме — Теорема Лебега про мажоровану збіжність.

Теорема 4. (про інтегрування функціонального ряду)

Якщо функціональний ряд  \sum\nolimits_{k=1}^{\infty}u_k(x) рівномірно збігається на відрізку [a,b] до функції S(x), а його члени u_k(x) — неперервні на цьому відрізку функції, то

\int\limits_a^b\left(\sum_{k=1}^{\infty}u_k(x)\right)dx=\int\limits_a^bS(x)dx=\sum_{k=1}^{\infty}\left(\int\limits_a^bu_k(x)dx\right).

Диференціювання[ред.ред. код]

Теорема 5. (про диференціювання під знаком границі)

Нехай -\infty<a<b<+\infty. Якщо послідовність \{u_k(x)\} неперервно диференційовних на відрізку [a,b] функцій є поточково збіжною до функції u(x), а послідовність їх похідних \{u^\prime_k(x)\} — рівномірно збіжною на [a,b] до деякої функції g(x), то функція u(x) є неперервно диференційовною на [a,b], а її похідна дорівнює границі послідовності похідних

\forall x\in [a,b] \quad u^\prime(x)=g(x)=\lim_{k\rightarrow \infty}u^\prime_k(x).

Теорема 6. (про диференціювання функціонального ряду)

Якщо функціональний ряд  \sum\nolimits_{k=1}^{\infty}u_k(x), у якому функції u_k(x) — неперервно диференційовні на відрізку [a,b], збігається хоча б в одній точці x_0\in[a,b], а ряд  \sum\nolimits_{k=1}^{\infty}u^\prime_k(x) — рівномірно збігається на [a,b], то ряд  \sum\nolimits_{k=1}^{\infty}u_k(x) також рівномірно збігається на [a,b] до функції S(x), причому

\left(\sum_{k=1}^{\infty}u_k(x)\right)^\prime=S^\prime(x)=\sum_{k=1}^{\infty}u^\prime_k(x).

Збіжність у середньому функціональних послідовностей[ред.ред. код]

При дослідженні питання про інтегрування функціональних рядів, зокрема ряду Фур'є використовується поняття збіжності у середньому.

Нехай кожна функція u_k(x) функціональної послідовності \{u_k(x)\} і функція u(x) інтегровні за Ріманом на [a,b].

Функціональна послідовність \{u_k(x)\} збігається в середньому на [a,b] до функції u(x), якщо

\lim_{k \rightarrow \infty}\int\limits_a^b( u_k(x) - u(x))^2dx=0.

Функціональний ряд \sum\nolimits_{k=1}^\infty u_k(x) збігається в середньому на [a,b] до функції S(x), якщо послідовність його частинних сум збігається в середньому на [a,b] до граничної функції S(x).

Зауваження. Якщо функціональна послідовність (ряд) збігається в середньому на [a,b] до u(x)(S(x)), то ця послідовність (ряд) збігається в середньому до u(x)(S(x)) і на довільному проміжку [c,d]\subset[a,b].

Теорема 7. (про зв'язок між рівномірною збіжністю та збіжністю в середньому)

Якщо послідовність \{u_k(x)\} рівномірно збігається на [a,b] до функції u(x), то ця послідовність збігається в середньому на [a,b] до u(x).

Теорема 8. (про інтегрування)

Якщо послідовність \{u_k(x)\} збіжна в середньому на [a,b] до функції u(x), то

\lim_{k \rightarrow \infty}\int\limits_a^x u_k(t)dt \rightrightarrows \int\limits_a^x u(t)dt,\quad x\in [a,b],

тобто послідовність \left\{\int_a^x u_k(t)dt\right\} рівномірно збігається на [a,b] до функції \int_a^x u(t)dt.

Функціональні ряди комплексного аргументу[ред.ред. код]

Розглянемо послідовність функцій f_k(z):E\rightarrow\mathbb{C},\,k\in\mathbb{N}, E\subseteq\mathbb{C}, та відповідний функціональний ряд

\sum_{k=1}^\infty f_k(z)=f_1(z)+f_2(z)+\cdots + f_k(z)+\cdots, \quad z\in E.

Означення поточкової та рівномірної збіжності аналогічні відповідним означенням із дійсного випадку, в яких модуль слід розуміти як модуль комплексного числа.

Теорема.

Для того, щоб ряд \sum\nolimits_{k=1}^\infty f_k(z) був збіжним (рівномірно збіжним) на множині E до функції f(z), необхідно і достатньо, щоб були збіжними (рівномірно збіжними) на множині E ряди складені з дійсних та уявних частин функцій f_k(z), тобто

\sum_{k=1}^\infty u_k(x,y)\rightrightarrows u(x,y), \quad z=x+iy\in E, \quad u_k(x,y) = \mathrm{Re} f_k(z), \quad u(x,y) = \mathrm{Re} f(z),
\sum_{k=1}^\infty v_k(x,y)\rightrightarrows v(x,y), \quad z=x+iy\in E, \quad v_k(x,y) = \mathrm{Im} f_k(z), \quad v(x,y) = \mathrm{Im} f(z).

Ця теорема дає змогу перенести на комплексний випадок всі наведені вище теореми з дійсного випадку, зокрема, аналогічно формулюються ознаки рівномірної збіжності, критерій Коші, теореми про неперервність, інтегрування (у якій відрізок інтегрування можна замінити на довільну криву у комплексній площині) та диференціювання функціональних послідовностей та рядів.

Однак деякі результати не мають аналогу у дійсному випадку.

Теорема Вейєрштрасса про рівномірну збіжність рядів аналітичних функцій[ред.ред. код]

Нехай в області G задана послідовність \{f_k(z)\},\, k\in\mathbb{N}, аналітичних функцій, і ряд \sum\nolimits_{k=1}^\infty f_k(z) рівномірно збіжний на кожному замкненому крузі, що лежить в області G до деякої функції f(z). Тоді:

1) функція f(z) аналітична в G;

2) ряд \sum\nolimits_{k=1}^\infty f_k(z) можна диференціювати довільну кількість разів, тобто

\sum_{k=1}^\infty f^{(n)}_k(z)=f^{(n)}(z), \quad n\in\mathbb{N};

3) кожен з рядів у пункті 2 рівномірно збігається на кожному замкненому крузі в області G.

Деякі узагальнення[ред.ред. код]

Нехай (X,\;d) — метричний простір з метрикою d:=d(x,y), x,y\in X.

Послідовність \{x_k\}, k\in\mathbb{N} елементів простору (X,\;d) називається збіжною за метрикою цього простору до елемента x\in (X,\;d), якщо

\forall \varepsilon >0 \quad \exist N\in\mathbb{N} \quad \forall n: n>N \quad d(x_k,x)< \varepsilon.

Послідовність \{x_k\}, k\in\mathbb{N} елементів простору (X,\;d) називається фундаментальною, якщо

\forall \varepsilon >0 \quad \exist N\in\mathbb{N} \quad  \forall m,n: m,n>N \quad  d(x_n,x_m)< \varepsilon.

Довільна збіжна послідовність є фундаментальною, але не навпаки (границя фундаментальної послідовності може не належати відповідному простору). Метричний простір у якому кожна фундаментальна послідовність є збіжною називається повним.

Розглянемо множину всіх неперервних на деякій множині D дійсних функцій з метрикою

d_1(f,g)=\sup_{x\in D}|f(x)-g(x)|.

Відповідний метричний простір позначається C(D) (якщо D=[a,b] — відрізок, то C([a,b]) або C[a,b]), а метрика називається чебишовською або рівномірною.

Збіжність функціональної послідовності за метрикою у цьому просторі еквівалентна рівномірній збіжності. З наслідку теореми 1 (про граничний перехід) випливає, що цей метричний простір є повним, а критерієм фунадментальності послідовності є критерій Коші.

Тепер розглянемо множину всіх неперервних на відрізку [a,b] дійсних функцій з метрикою

d_2(f,g)=\left(\int\limits_a^b(u_k(x) - u(x))^2dx\right).

Такий простір позначається C_2([a,b]) і називається простором неперервних функцій з квадратичною метрикою. Збіжність за метрикою у такому просторі еквівалентна збіжності в середньому. Цей простір не є повним.

Див. також[ред.ред. код]


Література[ред.ред. код]

  • Заболоцький М.В., Сторож О.Г., Тарасюк С.І. Математичний аналіз: Підручник. — Львів: Видавничий центр ЛНУ ім. Івана Франка, 2007. — 416 с.
  • Дороговцев Я.В. Математичний аналіз: Підручник: У двох частинах. Частина 1. — К.: Либідь, 1993. — 320 с.
  • Зорич В.А. Математичний анализ: Учебник. Ч.ІІ. — M.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1984. — 640 с.
  • Воробьев Н.Н. Теория рядов: Учеб. пособие для вузов.. — M.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1986. — 408 с.