Функціонал Мінковського

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

У функціональному аналізі, функціонал Мінковського використовує лінійну структуру простору для введення топології на ньому.

Визначення[ред.ред. код]

Для будь-якого векторного простору X (дійсного або комплексного) і його підмножини K визначимо функціонал Мінковського

\ \mu_K:X \rightarrow [0, \infty)

як

\mu_K (x) = \inf \left\{r > 0: x \in r K \right\}.

Передбачається, що 0 ∈ K і множина {r > 0: xr K} непорожня. При додаткових умовах на K функціонал буде мати властивості напівнорми, а саме:

  • Із опуклості й симетричності K випливає субадитивність \mu_K, тобто
    \ \mu_K (\alpha x + \beta y) \le \alpha \mu_K (x) + \beta \mu_K (y)
  • Однорідність (μK(α x) = |α| μK(x) для всіх α) досягається, якщо K — збалансована множина, тобто α K ⊂ K для всіх |α| ≤ 1.

Властивості[ред.ред. код]

Функціонал Мінковського можна використовувати для задання топології в просторі, так як для опуклих замкнених множин K, що містять 0, він має властивості напівнорми. Він також дозволяє встановити відповідність (один із проявів двоїстості Мінковського) між множинами в X і X*, оскільки володіє властивостями опорної функції в зв'язаному просторі. Нехай X — скінченновимірний евклідів простір. Для будь-якої множини K з X визначимо спряжену множину K* з X* як множину, опорна функція s (p, K*) якої на векторах p з X збігається з pK:

\forall p \in X ~s(p,K^*)=\mu_K(p)

При цьому для будь-якого опуклого замкнутого збалансованого K

\ K^{* *} = K

Це визначення також можна поширити на нескінченновимірні рефлексивні простори. При цьому, однак, виникає деяка складність, так як простір X ** містить елементи, що не лежать в X. Можна довизначити опорну функцію на K *, поклавши її для таких векторів рівною 0. Тоді при природному вкладенні X в X ** образ K збігається з K ** (при опуклості і збалансованості).

Посилання[ред.ред. код]

Інші прояви двоїстості Мінковського:

Література[ред.ред. код]

  • Половинкин Е. С, Балашов М. В. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 416 с. — ISBN 5-9221-0499-3.