Функція Веєрштраса

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Графік функції Вейерштрасса на інтервалі [-2, 2]. Цей графік має фрактальний характер: збільшення (у червоному колі) подібне до всього графіка.

Функція Вейерштрасса — приклад неперервної функції, яка ніде не має похідної; контрприклад для гіпотези Ампера.

Функція Вейерштрасса задається на всій дійсній прямій єдиним аналітичним виразом:

w(x)= \sum_{n=0} ^\infty b^n \cos(a^n \pi x),

де  a — довільне непарне число, а  b — додатне число, менше одиниці. Цей функціональний ряд мажорується рядом

\sum_{n=0} ^\infty b^n ,

тому функція  w визначена і неперервна при всіх дійсних  x . Проте ця функція не має похідної принаймні при

ab>\frac{3}{2}\pi +1.

Для доведення відсутності похідної в довільній точці  x_0 , будують дві послідовності  \{x_m'\} і  \{x_m''\} , що збігаються в точці  x_0 , та доводять, що відношення

\frac{f(x_m')-f(x_0)}{x_m'-x_0} і \frac{f(x_m'')-f(x_0)}{x_m''-x_0}

мають різні знаки принаймні за

ab>\frac{3}{2}\pi +1 і a>1.

Для побудови зазначених послідовностей попередньо визначають такі цілі числа  a_m , щоб різниця

a^m x_0 -a_m=x_{m+1}

лежала між  - \tfrac{1}{2} та  \tfrac {1}{2} , а потім вважають, що

x_m'=\frac{a_m-1}{a^m} і x_m''=\frac{a_m+1}{a^m}.

Відсутність похідної у всіх точках за загальніших умов

ab\geq 1 та a>1

була встановлено Харді. [1]

Історична довідка[ред.ред. код]

У 1806 році Ампер [2] зробив спробу довести аналітично, що всяка «довільна» функція диференційована всюди, за вийнятком «виняткових та ізольованих» значень аргументу. При цьому приймалося за очевидне можливість розбиття інтервалу зміни аргументу на частини, в яких функція була б монотонною. З цими зауваженнями гіпотезу Ампера можна розглядати як несуворе формулювання теореми Лебега [3]. У першій половині XIX століття робилися спроби довести гіпотезу Ампера для більш широкого класу, саме для всіх безперервних функцій. У 1861 році Ріман навів своїм слухачам в якості контрприкладу наступну функцію

r(x)=\sum \limits_{n=1}^\infty \frac{\sin n^2 x}{n^2};

проте дослідження диференційованості цієї функції надзвичайно складне. У 1970 році Дж. Джевер довів, що ця функція все ж має похідну в деяких раціональних точках. У 1872 році Вейерштрас зазначив простіший контрприклад — введену вище функцію  w та надав суворе доведення її недиференційованності. [4] У пресі цей приклад вперше з'явився у 1875 році в роботі Дюбуа-Реймона [5]. Ще простіший приклад належить ван дер Вардену (1930):

v(x)=\sum \limits_{n=0}^\infty \frac{\{10^n x\}}{10^n},

де фігурні дужки означають дробову частину. [6]

Література[ред.ред. код]

  • Weierstrass K. Math. Werke . Bd. 2. Berlin, 1895. Abh. 6.
  • Рісс. Ф., С.-Надь Б.Лекції з функціонального аналізу.М.: Мир, 1979.

Примітки[ред.ред. код]

  1. Hardy G. H. Weierstrass's nondifferentiable function / / Trans - Amer. Math. Soc, 17 (1916), р. 301-325. Втім і Вейерштрасс згадував це твердження в листі до Дюбуа-Реймону у 1873 році, див.: Полубарінова-Кочина П. Я. Карл Вейерштрасс. Москва: Наука, 1985. с. 229.
  2. Ampère, AM / / Ecole Politechnique, 6 (1806), fasc. 13.
  3. Рісс. Ф., С.-Надь Б. Лекції з функціонального аналізу. М.: Мир, 1979. С. 13.
  4. Доповідь Вейерштрасса, прочитана в Пруській академії наук 18 липня 1872 р., опублікована в зібранні творів (Weierstrass K. Werke. Bd. 2. Berlin, 1895. Abh. 6.).
  5. Du Bois-Reymond R. //J. für Math., 79 (1875), p. 21-37; Вейерштрасс був редактором цього журналу і повідомив про свій контрприклад в листі до Дюбуа-Реймону 23 листопада 1873 р., див: Полубарінова-Кочина П. Я. Карл Вейерштрасс. Москва: Наука, 1985. с. 229.
  6. Van der Waerden B.L.//Math. Zeitschr., 32 (1930), p. 474-475.