Функція Гріна

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Фу́нкція Грі́на — розв'язок неоднорідного рівняння або системи рівнянь математичної фізики з точковим джерелом.

Конкретне означення функції Гріна відповідає конкретній задачі математичної фізики. Функція Гріна містить повну інформацію про досліджуване рівняння, і за її допомогою можна побудувати розв'язок при будь-якій неодрорідності. Завдяки своїй інформативності функції Гріна широко використовуються в математичній фізиці, електродинаміці, квантовій механіці, квантовій теорії поля, статистичній фізиці тощо. Позначається здебільшого G.

Функція Гріна названа на честь англійського математика Джорджа Гріна, який першим розвинув відповідну теорію в 1830-х роках.

Просторова функція Гріна[ред.ред. код]

При розв'язуванні задачі

 \hat{L} f(\mathbf{r}) = g(\mathbf{r}) ,

де  \hat{L}  — лінійний оператор, що заданий у просторі диференційовних функцій, f — невідома функція координат, а g — певна відома функція, зручно спиратися на функцію Гріна, яка визначається, як розв'язок задачі

 \hat{L} G(\mathbf{r}, \mathbf{r}^\prime) = \delta(\mathbf{r} - \mathbf{r}^\prime) ,

де  \mathbf{r}^{\prime}  — будь-яка точка простору, а  \delta(\mathbf{r})  — дельта-функція Дірака.

Якщо функція Гріна відома, то розв'язок початкової задачі задається згорткою

 f(\mathbf{r}) = \int G(\mathbf{r}, \mathbf{r}^\prime) g(\mathbf{r}^\prime) dV^\prime

Приклади[ред.ред. код]

Для оператора Лапласа рівняння для функції Гріна записується

 \Delta G(\mathbf{r}, \mathbf{r}^\prime) = -4\pi\delta(\mathbf{r} - \mathbf{r}^\prime).

Множник  - 4\pi тут введено для спрощення кінцевих формул.

Розв'язок цього рівняння

 G(\mathbf{r}, \mathbf{r}^\prime) = \frac{1}{|\mathbf{r}- \mathbf{r}^\prime|}

Рівняння Пуасона для знаходження електростатичного потенціалу системи зарядів, розподілених в просторі із густиною  \rho(\mathbf{r})  записується

 \varepsilon \Delta \varphi = - 4\pi \rho ,

де  \varepsilon  — діелектрична проникність середовища.

Використовуючи функцію Гріна, розв'язок рівняння Пуасона записується

 \varphi(\mathbf{r}) =  \int \frac{\rho(\mathbf{r}^\prime)}{\varepsilon|\mathbf{r}- \mathbf{r}^\prime|} dV^\prime


Фізика Це незавершена стаття з фізики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.

Див. також[ред.ред. код]