Функція Гріна

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Перейти до: навігація, пошук

Функція Гріна - розв'язок неодрорідного рівняння або системи рівнянь математичної фізики з точковим джерелом.

Конкретне означення функції Гріна відповідає конкретній задачі математичної фізики. Функція Гріна містить повну інформацію про досліджуване рівняння, і за її допомогою можна побудувати розв'язок при будь-якій неодрорідності. Завдяки своїй інформативності функції Гріна широко використовуються в математичній фізиці, електродинаміці, квантовій механіці, квантовій теорії поля, статистичній фізиці, тощо.


Позначається здебільшого G.

Названа на честь Джорджа Гріна.

[ред.] Просторова функція Гріна

При розв'язуванні задачі

\hat{L} f(\mathbf{r}) = g(\mathbf{r}) ,

де \hat{L} - лінійний оператор, f - невідома функція координат, а g - певна відома функція, зручно опиратися на функцію Гріна, яка визначається, як розв'язок задачі

\hat{L} G(\mathbf{r}, \mathbf{r}^\prime) = \delta(\mathbf{r} - \mathbf{r}^\prime) ,

де \mathbf{r}^{\prime} - будь-яка точка простору, а \delta(\mathbf{r}) - дельта-функція Дірака.

Якщо функція Гріна відома, то розв'язок початкової задачі задається згорткою

f(\mathbf{r}) = \int G(\mathbf{r}, \mathbf{r}^\prime) g(\mathbf{r}^\prime) dV^\prime

[ред.] Приклади

Для оператора Лапласа рівняння для функції Гріна записується

\Delta G(\mathbf{r}, \mathbf{r}^\prime) = -4\pi\delta(\mathbf{r} - \mathbf{r}^\prime).

Множник − 4π тут введено для спрощення кінцевих формул.

Розв'язок цього рівняння

G(\mathbf{r}, \mathbf{r}^\prime) = \frac{1}{|\mathbf{r}- \mathbf{r}^\prime|}

Рівняння Пуасона для знаходження електростатичного потенціалу системи зарядів, розподілених в просторі із густиною \rho(\mathbf{r}) записується

\varepsilon \Delta \varphi = - 4\pi \rho ,

де \varepsilon - діелектрична проникність середовища.

Використовуючи функцію Гріна, розв'язок рівняння Пуасона записується

\varphi(\mathbf{r}) = \int \frac{\rho(\mathbf{r}^\prime)}{\varepsilon|\mathbf{r}- \mathbf{r}^\prime|} dV^\prime


Фізика Це незавершена стаття з фізики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.


[ред.] Дивіться також

Отримано з http://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%96%D1%8F_%D0%93%D1%80%D1%96%D0%BD%D0%B0
Особисті інструменти