Функція Ейрі

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Графік функцій Ai(x) (червоний) та Bi(x) (синій)

Функція Ейрі Ai(x) — спеціальна функція, названа на честь британського астронома Джорджа Бідделя Ейрі. Функції Ai(x) та пов'язана з нею Bi(x), яка називається функцією Ейрі другого роду, є лінійно незалежними розв'язками диференціального рівняння

y'' - xy = 0 \,,

що називається рівнянням Ейрі. Це найпростіше диференціальне рівняння що має точку, в якій вид розв'язку замінюється з коливального на експоненційний.

Функція Ейрі описує те, як зірка (точкове джерело світла) виглядає в телескопі. Ідеальна точка перетворюється в набір концентричних кіл, в силу обмеженої апертури та хвильової природи світла. Функція Ейрі також є розв'язком стаціонарного рівняння Шредінгера для частки, що рухається в однорідному полі, наприклад, електричному.

Визначення[ред.ред. код]

Для дійсних x, функція Ейрі та функція Ейрі другого роду визначаються інтегралом:

\mathrm{Ai}(x) = \frac{1}{\pi} \int\limits_0^\infty \cos\left(\frac{t^3}{3} + xt\right)\, dt.
\mathrm{Bi}(x) = \frac{1}{\pi} \int\limits_0^\infty \exp\left(-\frac{t^3}{3} + xt\right) + \sin\left(\frac{t^3}{3} + xt\right)\, dt.

Виконуючи диференціювання під знаком інтегралу, можна переконатися, що ці функції справді задовольняють рівнянню Ейрі.

y'' - xy = 0 \, .

При  x\rightarrow - \infty функція Ейрі другого роду має однакову амплітуду коливань із функцією Ейрі, які, проте, відрізняються протилежною фазою.

Властивості[ред.ред. код]

В точці x=0 функції Ai(x) і Bi(x) та їх похідні мають значення

\begin{align}
 \mathrm{Ai}(0) &{}= \frac{1}{3^{2/3}\Gamma(\frac23)}, & \quad \mathrm{Ai}'(0) &{}= -\frac{1}{3^{1/3}\Gamma(\frac13)}, \\
 \mathrm{Bi}(0) &{}= \frac{1}{3^{1/6}\Gamma(\frac23)}, & \quad \mathrm{Bi}'(0) &{}= \frac{3^{1/6}}{\Gamma(\frac13)}.
\end{align}

де  \Gamma(x)  — гамма-функція. Звідси випливає, що визначник Вронського функцій Ai(x) та Bi(x) дорівнює 1/π.

При додатніх x Ai(x) — додатня, опукла функція, яка зменшується експоненційно до 0, а Bi(x) — додатня опукла функція, котра зростає експоненційно. При від'ємних x Ai(x) та Bi(x) коливається навколо нуля із дедалі більшою частотою й дедалі меншою амплітудою. Це підтверджується асимптотичними виразами для функцій Ейрі.

Асимптотичні вирази[ред.ред. код]

При  x \rightarrow \infty :

\begin{align}
 \mathrm{Ai}(x) &{}\sim \frac{e^{-\frac23x^{3/2}}}{2\sqrt\pi\,x^{1/4}} \\
 \mathrm{Bi}(x) &{}\sim \frac{e^{\frac23x^{3/2}}}{\sqrt\pi\,x^{1/4}}.
\end{align}

При  x \rightarrow -\infty  :

\begin{align}
 \mathrm{Ai}(-x) &{}\sim \frac{\sin(\frac23x^{3/2}+\frac14\pi)}{\sqrt\pi\,x^{1/4}} \\
 \mathrm{Bi}(-x) &{}\sim \frac{\cos(\frac23x^{3/2}+\frac14\pi)}{\sqrt\pi\,x^{1/4}}.
\end{align}

Комплексний аргумент[ред.ред. код]

Функція Ейрі може бути аналітично продовжена на комплексну площину за формулою

\mathrm{Ai}(z) = \frac{1}{2\pi i} \int\limits_{C} \exp\left(\frac{t^3}{3} - zt\right)\, dt,

де інтеграл береться по контуру C, котрий починається в точці на нескінченності із аргументом −π/3 і закінчується в точці на нескінченності із аргументом π/3. Можна підійти з іншого боку, використовуючи диференціальне рівняння y'' - xy = 0 для продовження Ai(x) та Bi(x) до цілих функцій на комплексній площині.

Асимптотична формула для Ai(x) залишається в силі на комплексній площині, якщо брати головне значення кореня x2/3 і x не лежить на від'ємній дійсній півосі. Формула для Bi(x) правильна, якщо x лежить в секторі {xC : |arg x| < (1/3)π−δ} для деякого додатнього δ. Формули для Ai(−x) та Bi(−x) справедливі, якщо x лежить в секторі {xC : |arg x| < (2/3)π−δ}.

Із асимптотичної поведінки функцій Ейрі витікає, що обидві вони мають нескінченне число нулів (коренів) на дійсній півосі. У функції Ai(x) на комплексній площині немає інших нулів, а а функція Bi(x) має нескінченне число нулів в секторі {zC : (1/3)π < |arg z| < (1/2)π}.

Зв'язок з іншими спеціальними функціями[ред.ред. код]

Для додатних аргументів, функції Ейрі зв'язані з модифікованими функціями Бесселя:

\begin{align}
 \mathrm{Ai}(x) &{}= \frac1\pi \sqrt{\frac13 x} \, K_{1/3}\left(\frac23 x^{3/2}\right), \\
 \mathrm{Bi}(x) &{}= \sqrt{\frac13 x} \left(I_{1/3}\left(\frac23 x^{3/2}\right) + I_{-1/3}\left(\frac23 x^{3/2}\right)\right).
\end{align}

де I±1/3 и K1/3 — розв'язок рівняння x^2y'' + xy' - (x^2 + 1/9)y = 0 \,.

Для від'ємних аргументів функції Ейрі зв'язані з функціями Бесселя:

\begin{align}
 \mathrm{Ai}(-x) &{}= \frac13 \sqrt{x} \left(J_{1/3}\left(\frac23 x^{3/2}\right) + J_{-1/3}\left(\frac23 x^{3/2}\right)\right), \\
 \mathrm{Bi}(-x) &{}= \sqrt{\frac13 x} \left(J_{-1/3}\left(\frac23 x^{3/2}\right) - J_{1/3}\left(\frac23 x^{3/2}\right)\right). \end{align}

де J±1/3 — розв'язок рівняння x^2y'' + xy' + (x^2 - 1/9)y = 0 \,.

Функції Скорера є розв'язками рівняння y'' - xy = 1/\pi \,. Вони також можуть бути виражені через функції Ейрі

\begin{align}
 \mathrm{Gi}(x) &{}= \mathrm{Bi}(x) \int_x^\infty \mathrm{Ai}(t) \, dt + \mathrm{Ai}(x) \int_0^x \mathrm{Bi}(t) \, dt, \\
 \mathrm{Hi}(x) &{}= \mathrm{Bi}(x) \int_{-\infty}^x \mathrm{Ai}(t) \, dt - \mathrm{Ai}(x) \int_{-\infty}^x \mathrm{Bi}(t) \, dt. \end{align}

Історія[ред.ред. код]

Функція Ейрі названа на честь британського астронома Джорджа Бідделя Ейрі, котрий зіткнувся з нею при оптичних дослідженнях (1838 р.). Позначення Ai(x) запровадив Гарольд Джеффрі.

Посилання[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • Ландау Л. Д., Лившиц Е. М.: Квантовая механика, 1989 Розділ: Математические дополнения
  • Milton Abramowitz and Irene A. Stegun (1954). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, ( § 10.4).
  • Airy (1838). On the intensity of light in the neighbourhood of a caustic. Transactions of the Cambridge Philosophical Society, 6, 379—402.
  • Olver (1974). Asymptotics and Special Functions, Chapter 11. Academic Press, New York.