Функція Кантора

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Графік функції Кантора

Функція Кантора (також драбина Кантора чи драбина Диявола)— є прикладом монотонної неперервної функції [0,1]\to [0,1], що не є рівною константі, але її похідна рівна нулю майже всюди.

Побудова[ред.ред. код]

Розглянемо функцію, рівну 1/2 на [1/3,2/3], 1/4 на [1/9,2/9], 3/4 на [7/9,8/9] і так далі. На інших точках одиничного відрізку довизначимо функцію до неперервної. Одержана функція і називається функцією Кантора.

Формальне визначення[ред.ред. код]

Функцію можна побудувати за допомогою наступних кроків.

  1. Подати дійсне число x в системі числення з основою 3 уникаючи де можливо 1 (це можливо у двох випадках подібних до 022222... = 100000... чи 200000... = 122222... на зразок як в дестковій системі 1 = 0,999999...)
  2. Замінити першу цифру 1 на 2, а всі наступні цифри на 0.
  3. Замінити всі 2 на 1.
  4. Інтерпретувати одержану послідовність, як дійсне число в двійковій системі числення. Дане число c(x) і є значенням функції Кантора від аргументу x.

Властивості[ред.ред. код]

  • Похідна функції Кантора визначена і рівна нулю на всіх точках одиничного відрізка крім множини Кантора, яка є множиною міри нуль.
  • Функція Кантора є неперервною, має обмежену варіацію, але не є абсолютно неперервною.
  • Функція Кантора є функцією розподілу випадкової величини, що рівномірно розподілена на множині Кантора.
  • Довжина кривої графіка функції рівна 1.