Функція Ліувіля

Функція Ліувіля — арифметична функція, що широко застосовується в теорії чисел. Названа на честь французького математика Жозефа Ліувіля. Для позначення функції переважно використовується λ(n).

Для додатного n функція Ліувіля визначається:

$\lambda(n) = (-1)^{\Omega(n)},\,\!$

де Ω(n) — кількість простих дільників числа n, разом з мультиплікативністю. Тобто якщо $n = p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\ldots p_k^{\alpha_k},$ то:

$\lambda(n) = (-1)^{\alpha_1 + \alpha_2 + \ldots + \alpha_k}\,\!$

Перші значення функції рівні

1, -1, -1, 1, -1, 1, -1, -1, 1, 1, -1, -1, -1, 1, 1, 1, -1, -1, -1, -1, ... (Послідовність A026424 з Енциклопедії цілочисельних послідовностей.)

Властивості

• Функція Ліувілля є цілком мультиплікативною, тобто $\lambda(mn) = \lambda(m)\lambda(n), \; \forall m, n \in \N.$
• $\sum_{d|n}\lambda(d) = \begin{cases} 1 & n = k^2,\; k \in \N \\ 0 & \sqrt{n} \notin \N. \end{cases}$

де сума береться по всіх дільниках числа n.

Для доведення позначимо $g(n) = \sum_{d|n}\lambda(d).$ Тоді оскільки функція $\lambda(n)$ — мультиплікативна, то мультиплікативною є і функція g(n). Якщо $n = p^{\alpha}$ — степінь простого числа, то

$g(p^{\alpha}) = \sum_{d|p^{\alpha}}\lambda(d) = 1 + \lambda(p) + \lambda(p^2) + \ldots + \lambda(p^\alpha) = 1 - 1 + \ldots + (-1)^{\alpha} = \begin{cases} 0 & n = 2k,\; k \in \N \\ 1 & n = 2k-1,\; k \in \N. \end{cases}$

Тобто для цього випадку якщо степінь є парним, то значення функції рівне 0, непарним — 1. Якщо тепер $n = \prod_{i=1}^kp_i^{\alpha_i},$ то, враховуючи мультиплікативність, $g(n) = \prod_{i=1}^kg(p_i^{\alpha_i}).$ Якщо хоча б одне з чисел $\alpha_i$ є непарним, то $g(\alpha_i) = 0,$ і також $g(n) = 0.$ Число n в такому випадку не може бути квадратом. Якщо ж усі $\alpha_i$ є парними, то одночасно $g(n) = 1$ і n є квадратом.

• $\lambda^{-1}(n) = |\mu(n)|,$

де $\lambda^{-1}(n)$ — обернена Діріхле функції $\lambda(n),$ а $\mu(n)$ — функція Мебіуса.

• Ряд Діріхле функції Ліувіля пов'язаний з Дзета-функцією Рімана формулою

$\frac{\zeta(2s)}{\zeta(s)} = \sum_{n=1}^\infty \frac{\lambda(n)}{n^s}.$

Гіпотези

Гіпотеза Пойа зроблена угорським математиком Дьордьом Пойа в 1919 році. Визначивши

$L(n) = \sum_{k=1}^n \lambda(k),$

гіпотеза стверджує, що $L(n)\leq 0$ для n > 1. Гіпотеза, проте, не є вірною. Найменший контр-приклад n = 906150257, знайшов японський математик Мінору Танака в 1980 році. Згодом було доведено, що L(n) > 0.0618672√n для нескінченної кількості n, і також L(n) < -1.3892783√n для нескінченної кількості n. Визначимо також суму

$T(n) = \sum_{k=1}^n \frac{\lambda(k)}{k}.$

Існувала також гіпотеза, що T(n) ≥ 0 для достатньо великих n ≥ n₀. Гіпотеза була спростована англійським математиком Браяном Гаселґровом у 1958 році Підтвердження цієї гіпотези привело б до доведення гіпотези Рімана.

Посилання

1. Weisstein, Eric W. Liouville Function(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.

Література

• Чандрасекхаран К. (1974). Введение в аналитическую теорию чисел. Москва: Мир. с. 187. 
• Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3