Функція Мебіуса

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Функція Мебіуса \mu(n)мультиплікативна функція, яку застосовують у теорії чисел і комбінаториці, названа на честь німецького математика Мебіуса, який вперше розглянув її у 1831 р.


Означення[ред.ред. код]

\mu(n) визначена на множині всіх натуральних чисел n і набуває значення {-1,\;0,\;1} в залежності від вигляду розкладання числа n на прості множники:

  • \mu(n)=1, якщо n=1;
  • \mu(n)=0, якщо n ділиться на квадрат простого числа;
  • \mu(n)=(-1)^k, якщо канонічний розклад n має вигляд n=p_1 p_2 ... p_k, де прості множники різні.

Властивості й застосування[ред.ред. код]

Функція Мебіуса мультиплікативна: для довільних взаємно простих чисел a і b виконується рівність

\mu(ab)=\mu(a)\mu(b).

Сума значень функції Мебіуса по всім дільникам цілого числа n\geq 2 дорівнює нулю:

\sum_{d | n} \mu(d) = \left\{\begin{matrix}1,&n=1\\
0,&n>1\end{matrix}\right.

Звідси, зокрема, випливає, що для довільної непорожньої скінченної множини кількість різних підмножин, які містять непарне число елементів, дорівнює кількості різних підмножин, які містять парне число елементів — факт, який застосовується у формулі обертання Мебіуса.

Функція Мебіуса пов'язана з функцією Ейлера \varphi(n) таким співвідношенням:

\varphi(n)=\sum_{d | n} \mu(d) \frac{n}{d},

де в правій частині перераховуються всі дільники числа n.

Обертання Мебіуса[ред.ред. код]

Перша формула обертання Мебіуса[ред.ред. код]

Для арифметичних функцій f і g,

\ g(n) = \sum_{d|n} f(d)

тоді і тільки тоді, коли

f(n)=\sum_{d\,\mid\, n}\mu(d)g\left(\frac{n}{d}\right).

Цю рівність також називають принципом обертання Дедекінда-Ліувілля на честь німецького математики Ріхарда Дедекінда (1831-1916) та французького математика Жозефа Ліувілля (1809-1882).

Друга формула обертання Мебіуса[ред.ред. код]

Для дійснозначних функцій f(x) і g(x), визначених при x\geqslant 1,

 g(x) = \sum_{n\leqslant x} f\left(\frac{x}{n}\right)

тоді і тільки тоді, коли

f(x) = \sum_{n\leqslant x}\mu(n) g\left(\frac{x}{n}\right).