Функція Бесселя 2-го роду

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

(Перенаправлено з Функція Неймана)

Перейти до: навігація, пошук

Графіки функцій $\! Y_0(x)$ та $\! Y_1(x)$

Функція Бесселя 2-го роду $\! Y_n(x)$ (позначається також $\! N_n(x)$ ).

Інші назви — циліндрична функція 2-го роду n-ного порядку.

[ред.] Визначення

Загальний розв'язок рівняння Бесселя при цілому $\! n$ має вигляд:

$\! y(x)= C_1 J_n(x) +C_2 Y_n(x)$ .

Для не цілих $\! n$ , функція $\! Y_n(x)$ визначається як:

$\! Y_n(x)= \frac{J_n(x) \cos(n \pi) - J_{-n}(x)}{\sin (n \pi)}$

Для цілого $\! n$ функція функція $\! Y_n(x)$ визначається рівністю:

$Y_n ( x ) = \lim_{m \rightarrow n} \frac{J_m ( x ) \cos ( m \pi ) - J_{- m} ( x )}{\sin ( m \pi )} =$

$= \frac{2}{\pi} \left( C + \ln \left( \frac{x}{2} \right) \right) J_n ( x ) - \frac{1}{\pi} \sum^{n - 1_{}}_{k = 0} \frac{( n - k - 1 ) !}{k!} \left( \frac{2}{x} \right)^{n - 2 k} - \frac{1}{\pi} \sum^{\infty_{}}_{k = 0} \frac{( - 1 )^k}{k! ( n + k ) !} \left( \frac{x}{2} \right)^{n + 2 k} \left( \Phi ( r + k ) + \Phi ( k ) \right)$ ,