Функція Томе

Граф функції Томе на проміжку [0,1])

Функція Томе це функція визначена на множині дійсних чисел так:

$f(x)=\begin{cases} \frac{1}{q} & x=\frac{p}{q} \in \Q \\ 0 & x \in \R \setminus \Q \end{cases}$

У даному означенні вважається, що дріб $\frac{p}{q}$ є нескоротним.

Властивості[ред.]

Функція Томе є неперервною в усіх ірраціональних точках і є розривною для всіх раціональних значень аргументів.

Справді для будь-кого $x \in \R$ маємо

$\lim_{y\to x} f(y)=0.\,$

оскільки завжди можна підібрати проколотий окіл настільки малим, щоб усі належні до нього раціональні числа мали достатньо великі знаменники. З означення функції Томе і означення неперервності функції одержуємо необхідне твердження.

На відміну від функції Діріхле, функція Томе є інтегровною за Ріманом на будь-якій скінченній області інтегрування.

Дійсно нехай Z - деяке розбиття області інтегрування і $\delta x_i < \lambda$ - довжини проміжків розбиття. Позначимо також $\omega_i$ коливання Функції Томе на проміжку і. Кількість раціональних чисел зі знаменниками $q \leq N$ де $N \in \N$ є очевидно деяким скінченним числом k. Тоді кількість проміжків розбиття, що містять такі числа рівна щонайбільше 2k, а їх сукупна довжина не перевищує $2k\lambda\,$ . На інших проміжках коливання функції є меншим $\frac{1}{N}$ . Остаточно можемо записати: $\sum \omega_i \delta_i < 2k\lambda +\frac{d}{N}$ де d - довжина області інтегрування. Взявши N достатньо великим, а $\lambda\,$ достатньо малим можемо зробити цю суму як завгодно малою, звідки й випливає інтегровність за Ріманом.