Функція Томе

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Граф функції Томе на проміжку [0,1])

Функція Томе це функція визначена на множині дійсних чисел так:

f(x)=\begin{cases}
  \frac{1}{q} & x=\frac{p}{q} \in \Q \\
  0 & x \in \R \setminus \Q
\end{cases}

У даному означенні вважається, що дріб \frac{p}{q} є нескоротним.

Властивості[ред.ред. код]

Справді для будь-кого x \in \R маємо

\lim_{y\to x} f(y)=0.\,

оскільки завжди можна підібрати проколотий окіл настільки малим, щоб усі належні до нього раціональні числа мали достатньо великі знаменники. З означення функції Томе і означення неперервності функції одержуємо необхідне твердження.

Дійсно нехай Z  - деяке розбиття області інтегрування і \delta x_i < \lambda  - довжини проміжків розбиття. Позначимо також \omega_i коливання Функції Томе на проміжку і. Кількість раціональних чисел зі знаменниками q \leq N де N \in \N є очевидно деяким скінченним числом k. Тоді кількість проміжків розбиття, що містять такі числа рівна щонайбільше 2k, а їх сукупна довжина не перевищує 2k\lambda\,. На інших проміжках коливання функції є меншим \frac{1}{N}. Остаточно можемо записати: \sum \omega_i \delta_i < 2k\lambda +\frac{d}{N} де d  - довжина області інтегрування. Взявши N достатньо великим, а \lambda\, достатньо малим можемо зробити цю суму як завгодно малою, звідки й випливає інтегровність за Ріманом.

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления.Том 2. — Изд. 6-е, стереотипное. — М.: Наука, 1966.