Функція Хевісайда

Функція Хевісайда з H(0) = ½

Функція Хевісайда, H,  — це розривна функція дійсної змінної значення якої рівне 0 для від'ємних значень аргумента і рівне 1 для додатніх значень аргумента. В більшості випадків значення функції в точці нуль H(0) не є важливим. Функція названа на честь англійського математика Олівера Хевісайда і широко використовується в теорії керування і обробці сигналів. В теорії ймовірності функція Хевісайда з 'H(0)=1 є функцією розподілу випадкової змінної, що майже напевно рівна нулю.

Функція Хевісайда є первісною дельта-функції Дірака і можна записати.

$H(x) = \int_{-\infty}^x { \delta(t)} \mathrm{d}t$

В даній рівності зміст інтегрального виразу залежить від концепції узагальнених функцій, що використовується і рівність може не справджуватися в нулі.

Дискретна форма

Функцію Хевісайда можна також визначити і для дискретного аргументу n:

$H[n]=\begin{cases} 0, & n < 0 \\ 1, & n \ge 0 \end{cases}$

де n  — ціле число.

Дискретний одиничний імпульс тоді є першою різницею дискретної функції Хевісайда:

$\delta\left[ n \right] = H[n] - H[n-1].$

і виконується рівність:

$H[n] = \sum_{k=-\infty}^{n} \delta[k] \,$

Аналітичні апроксимації

Для наближення функції Хевісайда гладкими функціями можна використати логістичні функції:

$H(x) \approx \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\tanh(kx) = \frac{1}{1+\mathrm{e}^{-2kx}}$,

Якщо прийняти H(0) = ½, виконується рівність:

$H(x)=\lim_{k \rightarrow \infty}\frac{1}{2}(1+\tanh kx)=\lim_{k \rightarrow \infty}\frac{1}{1+\mathrm{e}^{-2kx}}.$

Існують і інші наближення, зокрема:

$H(x) = \lim_{k \rightarrow \infty} \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi}\arctan(kx) \$

$H(x) = \lim_{k \rightarrow \infty} \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\operatorname{erf}(kx). \$

Інтегральне представлення

Функція Хевісайда може бути подана за допомогою наступного інтегрального представлення:

$H(x)=\lim_{ \epsilon \to 0^+} -{1\over 2\pi \mathrm{i}}\int_{-\infty}^\infty {1 \over \tau+\mathrm{i}\epsilon} \mathrm{e}^{-\mathrm{i} x \tau} \mathrm{d}\tau =\lim_{ \epsilon \to 0^+} {1\over 2\pi \mathrm{i}}\int_{-\infty}^\infty {1 \over \tau-\mathrm{i}\epsilon} \mathrm{e}^{\mathrm{i} x \tau} \mathrm{d}\tau.$

H(0)

Серед найпоширеніших значень функції в нулі використовуються H(0) = 0, H(0) = ½ or H(0) = 1. H(0) = ½ є одним з найпоширеніших варіантів оскільки тоді виконується:

$H(x) = \frac{1+\sgn(x)}{2} = \begin{cases} 0, & x < 0 \\ \frac{1}{2}, & x = 0 \\ 1, & x > 0. \end{cases}$

Іноді також використовується загальний запис:

$H_a(x) = \begin{cases} 0, & x < 0 \\ a, & x = 0 \\ 1, & x > 0. \end{cases}$

Первісна і похідна

Первісною функцією для функції Хевісайда є: $R(x) := \int_{-\infty}^{x} H(\xi)\mathrm{d}\xi = x H(x).$ де за визначенням:

$R(x) := \begin{cases} x, & x \ge 0; \\ 0, & x<0 \end{cases}$

Похідною функції Хевісайда є дельта-функція Дірака: $dH(x)/dx = \delta(x).$

Див. також

• Дельта-функція Дірака