Функція вибору

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Функція вибору (чи селектор) для множини ~\Omega це функція \ C: 2^\Omega \to 2^\Omega (2^\Omega - булеан \Omega), яка кожній множині X \subseteq \Omega ставить у відповідність деяку її підмножину C(X) \subseteq X.

Функція вибору та аксіома вибору[ред.ред. код]

Ернст Цермело ввів поняття функції вибору разом з аксіомою вибору в 1904 році в доведенні теореми про цілком впорядковану множину. Як було вказано ним, деякі множини можуть мати функцію вибору і без застосування аксіоми вибору:

  • Для скінченного сімейства множин.
  • Якщо кожна множина сімейства є цілком впорядкованою.
  • Коли об'єднання всіх множин сімейства є цілком впорядковуваним.

Способи задання[ред.ред. код]

Вибір зручно здійснювати порівнюючи дві альтернативи, тобто задавати на \Omega деяке бінарне відношення R. Тоді, функцію вибору за цим бінарним відношенням можна задати двома способами:

Теорема: функції вибору C^R і C_R зв'язані співвідношеннями C^R = C_{R^d}, C_R= C^{R^d}, де R^d - двоїсте відношення до R.

Покриваюче сімейство для множини X - це \{ X_i \}, i \in J : X \subseteq \bigcup_{i \in J} X_i.

Функція вибору є нормальною, тоді і лише тоді, коли для будь-якої множини X \subseteq \Omega, і для будь-якого покриваючого її сімейства \{ X_i \}_{i \in J} виконується:

X \setminus C(X) \subseteq X \setminus \bigcup_{i \in J} C(X_i)

Тобто, якщо функція нормальна, то кожен об'єкт з X, що не є обраним у X, не є обраним хоча б у одній множині з покриваючого сімейства.

Посилання[ред.ред. код]

  1. Волошин О.Ф.; Мащенко С.О. (2006). Теорія прийняття рішень (укр). К: ВПЦ "Київський університет". ISBN 966-594-742-7.