Функція ймовірностей

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Функція ймовірностей у теорії ймовірностей — найпоширеніший спосіб охарактеризувати дискретний розподіл.

Визначення[ред.ред. код]

Функція довільної імовірності[ред.ред. код]

Нехай \mathbb{P} є ймовірнісною мірою на \mathbb{R}^n, тобто визначений ймовірнісний простір \left(\mathbb{R}^n,\mathcal{B}(\mathbb{R}^n),\mathbb{P}\right), де \mathcal{B}(\mathbb{R}^n) позначає борелівську \sigma-алгебру на \mathbb{R}^n.

Визначення 1. Ймовірнісна міра називається дискретною, якщо її носій \mathbb{P} є не більш, ніж зліченним, тобто існує не більш, ніж зліченна підмножина X \subset \mathbb{R}^n така, що \mathbb{P}(X) = 1.

Визначення 2.Функція p:\mathbb{R}^n \to [0,1], визначена в такий спосіб:

p(x) = \left\{
\begin{matrix}
\mathbb{P}(\{x\}), & x\in X \\
0, & x \in \mathbb{R}^n \setminus X 
\end{matrix}
\right.

називається функцією ймовірності \mathbb{P}.

Функція ймовірності випадкової величини[ред.ред. код]

Визначення 3. Нехай X:\Omega \to \mathbb{R}^nвипадкова величина (випадковий вектор). Тоді вона індукує ймовірнісну міру \mathbb{P}^X на \mathbb{R}^n, що називається розподілом. Випадкова величина називається дискретною, якщо її розподіл дискретний. Функція ймовірності p_X випадкової величини X має вид:

p_X(x) = \mathbb{P}^X(\{x\}) \equiv \mathbb{P}(X=x).

чи коротше

p_X(x_i) = \mathbb{P}(X=x_i) = p_i, \; i \in \mathbb{N},

де X = \{x_1,x_2, x_3,\ldots \} \subset{\mathbb{R}^n}.

Властивості функції ймовірності[ред.ред. код]

З властивостей імовірності очевидно випливає:

  • p_X(x_i) \geqslant 0,\; \forall i \in \mathbb{N}.
  • \sum\limits_{i=1}^{\infty}p_X(x_i) = 1.
  • Функція розподілу випадкової величини може бути виражена через її функцію імовірності:
F_X(x) = \sum\limits_{x' \leqslant x}p_X(x').
  • Якщо X = (X_1,X_2), те
\sum\limits_{x_2}p_{X_1,X_2}(x_1,x_2) = p_{X_1}(x_1),
\sum\limits_{x_1}p_{X_1,X_2}(x_1,x_2) = p_{X_2}(x_2),

де p_{X_1,X_2} — функція імовірності вектора (X_1,X_2), а p_{X_i} - функція імовірності величини X_i,\; i=1,2. Це властивість очевидна узагальнюється для випадкових векторів розмірності n>2.

\mathbb{E}[g(X)] = \sum\limits_{i=1}^n g(x_i)\, p_i,

за умови що ряд у правій частині є абсолютно збіжним.

Приклади дискретних розподілів[ред.ред. код]