Функція помилок

У математиці функція помилок — це неелементарна функція, що використовується в теорії ймовірності, статистиці і математичній фізиці. Вона визначається як

$\operatorname{erf}\,x = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int\limits_0^x e^{-t^2}\,\mathrm dt$.

Доповнююча функція помилок, що позначається $\operatorname{erfc}\,x$ (іноді застосовується позначення $\operatorname{Erf}\,x$) визначається через функцію помилок:

$\operatorname{erfc}\,x = 1-\operatorname{erf}\,x = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int\limits_x^{\infty} e^{-t^2}\,\mathrm dt$.

Комплексна функція помилок, що позначається $w(x)$, також визначається через функцію помилок:

$w(x) = e^{-x^2}\operatorname{erfc}\,(-ix)$.

Властивості

• Функція помилок непарна:

$\operatorname{erf}\,(-x) = -\operatorname{erf}\,x.$

• Для будь-якого комплексного $x$ виконується

$\operatorname{erf}\,\bar{x} = \overline{\operatorname{erf}\,x}$

де риска позначає комплексне спряження числа $x$.

• Функція помилок не може бути представлена через елементарні функції, але, розкладаючи інтегрований вираз в ряд Тейлора і інтегруючи почленно, ми можемо одержати її подання у вигляді ряду:

$\operatorname{erf}\,x= \frac{2}{\sqrt{\pi}}\sum_{n=0}^\infin\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{n! (2n+1)} =\frac{2}{\sqrt{\pi}} \left(x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{10}-\frac{x^7}{42}+\frac{x^9}{216}-\ \cdots\right)$

Ця рівність виконується (і ряд сходиться) як для будь-якого дійсного $x$, так і на всій комплексній площині. Послідовність знаменників утворює Послідовність A007680 з Енциклопедії цілочисельних послідовностей.

• Для ітеративного обчислення елементів ряду корисно представити його в альтернативному вигляді:

$\operatorname{erf}\,x= \frac{2}{\sqrt{\pi}}\sum_{n=0}^\infin\left(x \prod_{i=1}^n{\frac{-(2i-1) x^2}{i (2i+1)}}\right) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \sum_{n=0}^\infin \frac{x}{2n+1} \prod_{i=1}^n \frac{-x^2}{i}$

оскільки $\frac{-(2i-1) x^2}{i (2i+1)}$ — співмножник, що перетворює $i$-й член ряду в $(i+1)$-й, вважаючи першим членом $x$.

• Функція помилок на нескінченності рівна одиниці; проте це справедливо тільки при наближенні до нескінченності по дійсній осі, оскільки:

• При розгляді функції помилок в комплексній площині точка $z=\infty$ буде для неї істотно особливою.

• Похідна функції помилок виводиться безпосередньо з визначення функції:

$\frac{d}{dx}\,\operatorname{erf}\,x=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\,e^{-x^2}.$

• Обернена функція помилок є рядом

$\operatorname{erf}^{-1}\,x=\sum_{k=0}^\infin\frac{c_k}{2k+1}\left (\frac{\sqrt{\pi}}{2}x\right )^{2k+1}, \,\!$

де c₀ = 1 і

$c_k=\sum_{m=0}^{k-1}\frac{c_m c_{k-1-m}}{(m+1)(2m+1)} = \left\{1,1,\frac{7}{6},\frac{127}{90},\ldots\right\}.$

Тому ряд можна подати в наступному вигляді (помітимо, що дроби скорочені):

$\operatorname{erf}^{-1}\,x=\frac{1}{2}\sqrt{\pi}\left (x+\frac{\pi x^3}{12}+\frac{7\pi^2 x^5}{480}+\frac{127\pi^3 x^7}{40320}+\frac{4369\pi^4 x^9}{5806080}+\frac{34807\pi^5 x^{11}}{182476800}+\dots\right ). \,\!$[1]

Послідовності чисельників і знаменників після скорочення - A092676 і A132467 у OEIS; послідовність чисельників до скорочення - A002067 у OEIS.

Доповнююча функція помилок

Застосування

Якщо набір випадкових чисел підкоряється нормальному розподілу з стандартним відхиленням $\sigma$, то ймовірність, що число відхилиться від середнього не більше ніж на $a$, рівна $\operatorname{erf}\,\frac{a}{\sigma \sqrt{2}}$.

Функція помилок і додаткова функція помилок зустрічаються при розв'язанні деяких диференціальних рівнянь, наприклад, рівняння теплопровідності з граничними умовами, що описуються функцією Хевісайда.

У системах цифрової оптичної комунікації, ймовірність помилки на біт також виражається формулою, що використовує функцію помилок.

Асимптотичний розклад

При великих $x$ корисно асимптотичний розклад для додаткової функції помилок:

$\operatorname{erfc}\,x = \frac{e^{-x^2}}{x\sqrt{\pi}}\left [1+\sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)}{(2x^2)^n}\right ]=\frac{e^{-x^2}}{x\sqrt{\pi}}\sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{(2n)!}{n!(2x)^{2n}}.\,$

Хоча для будь-якого скінченного $x$ цей ряд є розбіжним, на практиці перших декількох членів достатньо для обчислення $\operatorname{erfc},x$ з хорошою точністю, тоді як ряд Тейлора сходиться дуже поволі.

Інше наближення дається формулою

$(\operatorname{erf}\,x)^2\approx 1-\exp\left(-x^2\frac{4/\pi+ax^2}{1+ax^2}\right)$

де

$a = \frac{-8}{3\pi}\frac{\pi-3}{\pi-4}.$

Споріднені функції

З точністю до масштабу і зсуву, функція помилок збігається з функцією розподілу ймовірностей нормального розподілу, що позначається $\Phi(x)$

$\Phi(x) = \frac{1}{2}\left(1+\operatorname{erf}\,\frac{x}{\sqrt{2}}\right)\,.$

Зворотна функція до $\Phi$, відома як нормальна квантильна функція, іноді позначається $\operatorname{probit}$ і виражається через нормальну функцію помилок як

$\operatorname{probit}\,p = \Phi^{-1}(p) = \sqrt{2},\operatorname{erf}^{-1}(2p-1).$

Нормальний інтегральний розподіл частіше застосовується в теорії ймовірності і математичній статистиці, тоді як функція помилок частіше застосовується в інших розділах математики.

Функція помилок є окремим випадком функції Міттаг-Лефлера, а також може бути представлена як вироджена гіпергеометрична функція (функція Куммера):

$\operatorname{erf}\,x= \frac{2x}{\sqrt{\pi}}\,_1F_1\left(\frac{1}{2},\frac{3}{2},-x^2\right).$

Функція помилок виражається також через інтеграл Френеля. У термінах регуляризованої неповної гамма-функції P і неповної гамма-функції

$\operatorname{erf}\,x=\operatorname{sign}\,x\,P\left(\frac{1}{2}, x^2\right)={\operatorname{sign}\,x \over \sqrt{\pi}}\gamma\left(\frac{1}{2}, x^2\right).$

Узагальнені функції помилок

Графік узагальнених функцій помилок $E_n(x)$:
сіра лінія: $E_1(x)=(1-e^{-x})/\sqrt{\pi}$
червона лінія: $E_2(x)=\operatorname{erf},x$
зелена лінія: $E_3(x)$
синя лінія: $E_4(x)$
жовта лінія: $E_5(x)$.

Також можна розглянути загальніші функції:

$E_n(x) = \frac{n!}sqrt{pi}\int\limits_0^x e^{-t^n},\mathrm dt =\frac{n!}sqrt{pi}sum_{p=0}^\infin(-1)^p\frac{x^{np+1}(np+1)p!},.$

Окремими вартими уваги випадками є:

• $E_0(x)$ — пряма лінія, що проходить через початок координат: $E_0(x)=\frac{x}e \sqrt{pi}$
• $E_2(x)$ - функція помилок $\operatorname{erf},x$.

Після ділення на $n!$ всі $E_n$ з непарними $n$ виглядають схоже (але не ідентично). Всі $E_n$ з парними $n$ теж виглядають схоже, але не ідентично, після ділення на $n!$. Всі узагальнені функції помилок з $n>0$ виглядають схоже на напівосі $x>0$.

На напівосі $x>0$ всі узагальнені функції можуть бути виражені через гамма-функцію:

$E_n(x) = \frac{x\left(x^n\right)^{-1/n}\Gamma(n)\left(\Gamma\left(\frac{1}{n}\right)-\Gamma\left(\frac{1}{n},x^n\right)\right)}{\sqrt\pi}, \quad \quad x>0$

Отже, ми можемо виразити функцію помилок через гамма-функцію:

$\operatorname{erf}\,x = 1 - \frac{\Gamma\left(\frac{1}{2},x^2\right)}{\sqrt\pi}$

Ітеровані інтеграли додаткової функції помилок

Ітеровані інтеграли додаткової функції помилок визначаються як

$i^n\,\operatorname{erfc},z = \int\limits_z^\infty i^{n-1},\operatorname{erfc},\zeta\,\mathrm d\zeta.\,$

Їх можна розкласти в ряд:

$i^n\,\operatorname{erfc}\,z = \sum_{j=0}^\infty \frac{(-z)^j}{2^{n-j}j!\,\Gamma \left( 1 + \frac{n-j}{2}\right)}\,,$

звідки випливають властивості симетрії

$i^{2m}\,\operatorname{erfc}\,(-z) = -i^{2m}\,\operatorname{erfc}\,z + \sum_{q=0}^m \frac{z^{2q}}{2^{2(m-q)-1}(2q)!(m-q)!}$

і

$i^{2m+1}\,\operatorname{erfc}\,(-z) =i^{2m+1}\,\operatorname{erfc}\,z + \sum_{q=0}^m \frac{z^{2q+1}}{2^{2(m-q)-1}(2q+1)! (m-q)!}\,.$

Література

• Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972.