Функція помилок

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Графік функції помилок.

У математиці функція помилок — це неелементарна функція, що використовується в теорії ймовірності, статистиці і математичній фізиці. Вона визначається як

\operatorname{erf}\,x = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int\limits_0^x e^{-t^2}\,\mathrm dt.

Доповнююча функція помилок, що позначається \operatorname{erfc}\,x (іноді застосовується позначення \operatorname{Erf}\,x) визначається через функцію помилок:

\operatorname{erfc}\,x = 1-\operatorname{erf}\,x = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int\limits_x^{\infty} e^{-t^2}\,\mathrm dt.

Комплексна функція помилок, що позначається w(x), також визначається через функцію помилок:

w(x) = e^{-x^2}\operatorname{erfc}\,(-ix).

Властивості[ред.ред. код]

\operatorname{erf}\,(-x) = -\operatorname{erf}\,x.
  • Для будь-якого комплексного x виконується
\operatorname{erf}\,\bar{x} = \overline{\operatorname{erf}\,x}

де риска позначає комплексне спряження числа x.

  • Функція помилок не може бути представлена через елементарні функції, але, розкладаючи інтегрований вираз в ряд Тейлора і інтегруючи почленно, ми можемо одержати її подання у вигляді ряду:
\operatorname{erf}\,x= \frac{2}{\sqrt{\pi}}\sum_{n=0}^\infin\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{n! (2n+1)} =\frac{2}{\sqrt{\pi}} \left(x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{10}-\frac{x^7}{42}+\frac{x^9}{216}-\ \cdots\right)

Ця рівність виконується (і ряд сходиться) як для будь-якого дійсного x, так і на всій комплексній площині. Послідовність знаменників утворює Послідовність A007680 з Енциклопедії цілочисельних послідовностей.

  • Для ітеративного обчислення елементів ряду корисно представити його в альтернативному вигляді:
\operatorname{erf}\,x= \frac{2}{\sqrt{\pi}}\sum_{n=0}^\infin\left(x \prod_{i=1}^n{\frac{-(2i-1) x^2}{i (2i+1)}}\right) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \sum_{n=0}^\infin \frac{x}{2n+1} \prod_{i=1}^n \frac{-x^2}{i}

оскільки \frac{-(2i-1) x^2}{i (2i+1)} — співмножник, що перетворює i-й член ряду в (i+1)-й, вважаючи першим членом x.

  • Функція помилок на нескінченності рівна одиниці; проте це справедливо тільки при наближенні до нескінченності по дійсній осі, оскільки:
  • При розгляді функції помилок в комплексній площині точка z=\infty буде для неї істотно особливою.
  • Похідна функції помилок виводиться безпосередньо з визначення функції:
\frac{d}{dx}\,\operatorname{erf}\,x=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\,e^{-x^2}.
  • Обернена функція помилок є рядом
\operatorname{erf}^{-1}\,x=\sum_{k=0}^\infin\frac{c_k}{2k+1}\left (\frac{\sqrt{\pi}}{2}x\right )^{2k+1}, \,\!

де c0 = 1 і

c_k=\sum_{m=0}^{k-1}\frac{c_m c_{k-1-m}}{(m+1)(2m+1)} = \left\{1,1,\frac{7}{6},\frac{127}{90},\ldots\right\}.

Тому ряд можна подати в наступному вигляді (помітимо, що дроби скорочені):

\operatorname{erf}^{-1}\,x=\frac{1}{2}\sqrt{\pi}\left (x+\frac{\pi x^3}{12}+\frac{7\pi^2 x^5}{480}+\frac{127\pi^3 x^7}{40320}+\frac{4369\pi^4 x^9}{5806080}+\frac{34807\pi^5 x^{11}}{182476800}+\dots\right ). \,\![1]

Послідовності чисельників і знаменників після скорочення - A092676 і A132467 у OEIS; послідовність чисельників до скорочення - A002067 у OEIS.

Доповнююча функція помилок

Застосування[ред.ред. код]

Якщо набір випадкових чисел підкоряється нормальному розподілу з стандартним відхиленням \sigma, то ймовірність, що число відхилиться від середнього не більше ніж на a, рівна  \operatorname{erf}\,\frac{a}{\sigma \sqrt{2}}.

Функція помилок і додаткова функція помилок зустрічаються при розв'язанні деяких диференціальних рівнянь, наприклад, рівняння теплопровідності з граничними умовами, що описуються функцією Хевісайда.

У системах цифрової оптичної комунікації, ймовірність помилки на біт також виражається формулою, що використовує функцію помилок.

Асимптотичний розклад[ред.ред. код]

При великих x корисно асимптотичний розклад для додаткової функції помилок:

\operatorname{erfc}\,x = \frac{e^{-x^2}}{x\sqrt{\pi}}\left [1+\sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)}{(2x^2)^n}\right ]=\frac{e^{-x^2}}{x\sqrt{\pi}}\sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{(2n)!}{n!(2x)^{2n}}.\,

Хоча для будь-якого скінченного x цей ряд є розбіжним, на практиці перших декількох членів достатньо для обчислення \operatorname{erfc},x з хорошою точністю, тоді як ряд Тейлора сходиться дуже поволі.

Інше наближення дається формулою

(\operatorname{erf}\,x)^2\approx 1-\exp\left(-x^2\frac{4/\pi+ax^2}{1+ax^2}\right)

де

 a = \frac{-8}{3\pi}\frac{\pi-3}{\pi-4}.

Споріднені функції[ред.ред. код]

З точністю до масштабу і зсуву, функція помилок збігається з функцією розподілу ймовірностей нормального розподілу, що позначається \Phi(x)

\Phi(x) = \frac{1}{2}\left(1+\operatorname{erf}\,\frac{x}{\sqrt{2}}\right)\,.

Зворотна функція до \Phi, відома як нормальна квантильна функція, іноді позначається \operatorname{probit} і виражається через нормальну функцію помилок як


\operatorname{probit}\,p = \Phi^{-1}(p) = \sqrt{2},\operatorname{erf}^{-1}(2p-1).

Нормальний інтегральний розподіл частіше застосовується в теорії ймовірності і математичній статистиці, тоді як функція помилок частіше застосовується в інших розділах математики.

Функція помилок є окремим випадком функції Міттаг-Лефлера, а також може бути представлена як вироджена гіпергеометрична функція (функція Куммера):

\operatorname{erf}\,x=
\frac{2x}{\sqrt{\pi}}\,_1F_1\left(\frac{1}{2},\frac{3}{2},-x^2\right).

Функція помилок виражається також через інтеграл Френеля. У термінах регуляризованої неповної гамма-функції P і неповної гамма-функції

\operatorname{erf}\,x=\operatorname{sign}\,x\,P\left(\frac{1}{2}, x^2\right)={\operatorname{sign}\,x \over \sqrt{\pi}}\gamma\left(\frac{1}{2}, x^2\right).

Узагальнені функції помилок[ред.ред. код]

Графік узагальнених функцій помилок E_n(x):
сіра лінія: E_1(x)=(1-e^{-x})/\sqrt{\pi}
червона лінія: E_2(x)=\operatorname{erf},x
зелена лінія: E_3(x)
синя лінія: E_4(x)
жовта лінія: E_5(x).

Також можна розглянути загальніші функції:

E_n(x) = \frac{n!}\sqrt{\pi}\int\limits_0^x e^{-t^n},\mathrm dt
=\frac{n!}\sqrt{\pi}\sum_{p=0}^\infin(-1)^p\frac{x^{np+1}(np+1)p!},.

Окремими вартими уваги випадками є:

  • E_0(x) — пряма лінія, що проходить через початок координат: E_0(x)=\frac{x}e \sqrt{\pi}
  • E_2(x) - функція помилок \operatorname{erf},x.

Після ділення на n! всі E_n з непарними n виглядають схоже (але не ідентично). Всі E_n з парними n теж виглядають схоже, але не ідентично, після ділення на n!. Всі узагальнені функції помилок з n>0 виглядають схоже на напівосі x>0.

На напівосі x>0 всі узагальнені функції можуть бути виражені через гамма-функцію:

E_n(x) = \frac{x\left(x^n\right)^{-1/n}\Gamma(n)\left(\Gamma\left(\frac{1}{n}\right)-\Gamma\left(\frac{1}{n},x^n\right)\right)}{\sqrt\pi},
\qquad
x>0

Отже, ми можемо виразити функцію помилок через гамма-функцію:

\operatorname{erf}\,x = 1 - \frac{\Gamma\left(\frac{1}{2},x^2\right)}{\sqrt\pi}

Ітеровані інтеграли додаткової функції помилок[ред.ред. код]

Ітеровані інтеграли додаткової функції помилок визначаються як


i^n\,\operatorname{erfc},z = \int\limits_z^\infty i^{n-1},\operatorname{erfc},\zeta\,\mathrm d\zeta.\,

Їх можна розкласти в ряд:


i^n\,\operatorname{erfc}\,z 
=
 \sum_{j=0}^\infty \frac{(-z)^j}{2^{n-j}j!\,\Gamma \left( 1 + \frac{n-j}{2}\right)}\,,

звідки випливають властивості симетрії


i^{2m}\,\operatorname{erfc}\,(-z)
= -i^{2m}\,\operatorname{erfc}\,z
+ \sum_{q=0}^m \frac{z^{2q}}{2^{2(m-q)-1}(2q)!(m-q)!}

і


i^{2m+1}\,\operatorname{erfc}\,(-z)
=i^{2m+1}\,\operatorname{erfc}\,z
+ \sum_{q=0}^m \frac{z^{2q+1}}{2^{2(m-q)-1}(2q+1)! (m-q)!}\,.

Література[ред.ред. код]

  • Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972.