Функція фон Мангольдта

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Функція фон Мангольдтаарифметична функція, що визначається рівністю:

\Lambda(n) = \begin{cases} \log p & n=p^k \quad k \ge 1, \\ 0 & n \neq p^k \end{cases}

де pпросте число. Тобто значення функції є ненульовим лише для степенів простих чисел де значення функції рівне логарифму з відповідного простого числа.

Властивості[ред.ред. код]

Функція фон Мангольдта задовольняє властивості:

\log n  = \sum_{d\,\mid\,n} \Lambda(d),\,
\Lambda(n) = \sum_{d\,\mid\,n} \mu \log \frac {n}{d}
\sum_{d|n}\mu(d)\log d=-\Lambda(n)\,
\sum_{d|n}\mu\left(\frac nd\right)\Lambda(d)=-\mu(n)\log n

де \muфункція Мебіуса.

де сума береться по всіх дільниках d числа n.

exp(Λ(n)) можна явно визначити:

e^{\Lambda(n)}=\frac{\operatorname{LCM}(1,2,3,...,n)}{\operatorname{LCM}(1,2,3,...,n-1)}

де \rm LCM позначає найменше спільне кратне.

Значення exp(Λ(n)) для перших натуральних чисел рівне:

1, 2, 3, 2, 5, 1, 7, 2, 3, 1, 11, 1, 13, 1, 1, 2, 17, 1, 19, 1, 1, 1, ... (Послідовність A014963 з Енциклопедії цілочисельних послідовностей)

Функція фон Мангольдта тісно пов'язана з дзета-функцією Рімана 'Q(s). Зокрема виконується рівність:

\log \zeta(s)=\sum_{n=2}^\infty \frac{\Lambda(n)}{\log(n)}\,\frac{1}{n^s}

для \Re(s) > 1.

Тоді логарифмічна похідна рівна:

\frac {\zeta^\prime(s)}{\zeta(s)} = -\sum_{n=1}^\infty \frac{\Lambda(n)}{n^s}.

Посилання[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]