Функція sinc

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Графіки нормованої sinc-функції (синій) та ненормованої sinc-функції (червоний) на відрізку значень x від −6π до 6π.

Sinc-функція, що позначається \mathrm{sinc}(x)\,, (від лат. sinus cardinalis — кардинальний синус) має два визначення, відповідно для нормованої sinc-функції і ненормованої sinc-функції:

  1. У цифровій обробці сигналів і теорії зв'язку нормована sinc-функція звичайно визначається як
    \mathrm{sinc}\left( x \right)=\left\{ \begin{array}{*{35}l}
   \frac{\sin \left( \pi x \right)}{\pi x} & ; & x\ne 0  \\
   1 & ; & x=0  \\
\end{array} \right.
  2. У математиці ненормована sinc-функція визначається як
    \mathrm{sinc}\left( x \right)=\left\{ \begin{array}{*{35}l}
   \frac{\sin \left( x \right)}{x} & ; & x\ne 0  \\
   1 & ; & x=0  \\
\end{array} \right.

У обох випадках значення функції в особливій точці x=0 явним чином задається рівним одиниці. Таким чином, sinc-функція аналітична для будь-якого значення аргументу.

Властивості[ред.ред. код]

  • Для ненормованої sinc-функції :
\mathrm{sinc}(0) = 1\, і \mathrm{sinc}(k) = 0\, для k\ne 0\, і k\in\mathbb{Z}, (цілі числа); тобто, це інтерполююча функція
Для ненормованої функції
\mathrm{sinc}(0) = 1\, і \mathrm{sinc}(k \pi) = 0\, для k\ne 0\, і k\in\mathbb{Z}, (цілі числа);
  • Локальні максимум і мінімум ненормованої sinc-функції \begin{matrix}\frac{\sin(x)}{x} \end{matrix}\, збігаються із значеннями косинуса, тобто там, де похідна \begin{matrix}\frac{\sin(x)}{x} \end{matrix}\, рівна нулю (локальний екстремум в точці x = a\,), виконується умова \begin{matrix}\frac{\sin(a)}{a} \end{matrix} = \cos(a) \,.
  • Ненормована sinc-функція є сферичною функцією Бесселя першого роду нульового порядку j_0(x) = \begin{matrix}\frac{\sin(x)}{x} \end{matrix}\,. Нормована sinc-функція - j_0(\pi x)\,.
  •  \int_{0}^{x} \frac{\sin(\theta)}{\theta}\,d\theta = \mathrm{Si}(x) \,\!
де Si(x) — інтегральний синус.
  • λ sinc(λ x) (для ненормалізованого випадку) є одним із двох лінійно незалежних розв'язків диференціального рівняння:
x \frac{d^2 y}{d x^2} + 2 \frac{d y}{d x} + \lambda^2 x y = 0.\,\!
Іншим є cos(λ x)/x.
  •  \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin^2(\theta)}{\theta^2}\,d\theta = \pi \,.
  •  \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin^3(\theta)}{\theta^3}\,d\theta = \frac{3\pi}{4} \,\!
  •  \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin^4(\theta)}{\theta^4}\,d\theta = \frac{2\pi}{3} \,\!
\int\limits_{-\infty}^\infty \mathrm{sinc}(t)\,e^{-2\pi i f t}dt = \mathrm{rect}(f),
де прямокутна функція — функція, що приймає значення, рівні 1 для будь-якого аргументу з інтервалу між `1/2 і 1/2, і рівна нулю при будь-якому іншому значенні аргументу.
 \mathrm{sinc}(x) = \frac{\sin(\pi x)}{\pi x} = \prod_{n=1}^\infty \left(1 - \frac{x^2}{n^2}\right)
\frac{\sin(x)}{x} = \prod_{n=1}^\infty \cos\left(\frac{x}{2^n}\right).
 \mathrm{sinc}(x) = \frac{\sin(\pi x)}{\pi x} = \frac{1}{\Gamma(1+x)\Gamma(1-x)}
де \Gamma(x) — гамма-функція

Посилання[ред.ред. код]