Функція sinc

Графіки нормованої sinc-функції (синій) та ненормованої sinc-функції (червоний) на відрізку значень x від −6π до 6π.

Sinc-функція, що позначається $\mathrm{sinc}(x)\,$, (від лат. sinus cardinalis — кардинальний синус) має два визначення, відповідно для нормованої sinc-функції і ненормованої sinc-функції:

1. У цифровій обробці сигналів і теорії зв'язку нормована sinc-функція звичайно визначається як

   $\mathrm{sinc}\left( x \right)=\left\{ \begin{array}{*{35}l} \frac{\sin \left( \pi x \right)}{\pi x} & ; & x\ne 0 \\ 1 & ; & x=0 \\ \end{array} \right.$

2. У математиці ненормована sinc-функція визначається як

   $\mathrm{sinc}\left( x \right)=\left\{ \begin{array}{*{35}l} \frac{\sin \left( x \right)}{x} & ; & x\ne 0 \\ 1 & ; & x=0 \\ \end{array} \right.$

У обох випадках значення функції в особливій точці $x=0$ явним чином задається рівним одиниці. Таким чином, sinc-функція аналітична для будь-якого значення аргументу.

Властивості

• Для ненормованої sinc-функції :

$\mathrm{sinc}(0) = 1\,$ і $\mathrm{sinc}(k) = 0\,$ для $k\ne 0\,$ і $k\in\mathbb{Z},$ (цілі числа); тобто, це інтерполююча функція

Для ненормованої функції

$\mathrm{sinc}(0) = 1\,$ і $\mathrm{sinc}(k \pi) = 0\,$ для $k\ne 0\,$ і $k\in\mathbb{Z},$ (цілі числа);

• функції $x_k(t)=\mathrm{sinc}(t-k) \$ формують ортонормований базис для функцій в функціональному просторі $L^2(\R)$, з найбільшою кутовою частотою $\omega_\mathrm{H}=\pi\,$.

• Локальні максимум і мінімум ненормованої sinc-функції $\begin{matrix}\frac{\sin(x)}{x} \end{matrix}\,$ збігаються із значеннями косинуса, тобто там, де похідна $\begin{matrix}\frac{\sin(x)}{x} \end{matrix}\,$ рівна нулю (локальний екстремум в точці $x = a\,$), виконується умова $\begin{matrix}\frac{\sin(a)}{a} \end{matrix} = \cos(a) \,$.

• Ненормована sinc-функція є сферичною функцією Бесселя першого роду нульового порядку $j_0(x) = \begin{matrix}\frac{\sin(x)}{x} \end{matrix}\,$. Нормована sinc-функція - $j_0(\pi x)\,$.

• $\int_{0}^{x} \frac{\sin(\theta)}{\theta}\,d\theta = \mathrm{Si}(x) \,\!$

де Si(x) — інтегральний синус.

• λ sinc(λ x) (для ненормалізованого випадку) є одним із двох лінійно незалежних розв'язків диференціального рівняння:

$x \frac{d^2 y}{d x^2} + 2 \frac{d y}{d x} + \lambda^2 x y = 0.\,\!$

Іншим є cos(λ x)/x.

• $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin^2(\theta)}{\theta^2}\,d\theta = \pi \,$.

• $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin^3(\theta)}{\theta^3}\,d\theta = \frac{3\pi}{4} \,\!$

• $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin^4(\theta)}{\theta^4}\,d\theta = \frac{2\pi}{3} \,\!$

• Перетворення Фур'є нормованої sinc-функції $\mathrm{sinc}(x) = \begin{matrix}\frac{\sin(\pi x)}{\pi x} \end{matrix}\,$ (для одиничного інтервалу частот) рівне прямокутній функції $\mathrm{rect}(f)\,$.

$\int\limits_{-\infty}^\infty \mathrm{sinc}(t)\,e^{-2\pi i f t}dt = \mathrm{rect}(f)$,

де прямокутна функція — функція, що приймає значення, рівні 1 для будь-якого аргументу з інтервалу між `1/2 і 1/2, і рівна нулю при будь-якому іншому значенні аргументу.

• Розклад нормованої Sinc-функції у нескінченний добуток:

$\mathrm{sinc}(x) = \frac{\sin(\pi x)}{\pi x} = \prod_{n=1}^\infty \left(1 - \frac{x^2}{n^2}\right)$

• Розклад ненормованої Sinc-функції у нескінченний добуток

$\frac{\sin(x)}{x} = \prod_{n=1}^\infty \cos\left(\frac{x}{2^n}\right).$

• Вираз через гамма-функцію:

$\mathrm{sinc}(x) = \frac{\sin(\pi x)}{\pi x} = \frac{1}{\Gamma(1+x)\Gamma(1-x)}$

де $\Gamma(x)$ — гамма-функція

Посилання

• Weisstein, Eric W. Sinc Function(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.