Фігури Ліссажу

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Фігури Ліссажу

Фігури Ліссажу — замкнуті траєкторії, що прокреслюються точкою, що здійснює одночасно два гармонійних коливання у двох взаємно перпендикулярних напрямках. Вперше вивчені французьким ученим Ж. Ліссажу (фр. J. Lissajous; 1822-1880). Вид фігур залежить від співвідношення між періодами ( частотами), фазами і амплітудами обох коливань. У найпростішому випадку (за рівності обох періодів) фігури являють собою еліпси, які при різниці фаз 0 або π вироджуються у відрізки прямих, а при різниці фаз π/2 і рівності амплітуд перетворюються в коло. Якщо періоди обох коливань не точно збігаються, то різниця фаз весь час змінюється, внаслідок чого еліпс весь час деформується. При істотно різних періодах фігури Ліссажу не спостерігаються. Однак, якщо періоди відносяться як цілі числа, то через проміжок часу, рівний найменшому кратному обох періодів, точка, що рухається, знову повертається в те ж положення — виходять фігури Ліссажу складнішої форми. Фігури Ліссажу вписуються в прямокутник, центр якого збігається з початком координат, а сторони паралельні осям координат і розташовані по обидва боки від них на відстанях, рівних амплітудами коливань.

Математичний вираз для кривої Ліссажу[ред.ред. код]

\left\{ \begin{align}
  & x(t)=A\sin (at+\delta ) \\ 
 & y(t)=B\sin (bt+\delta) \\ 
\end{align} \right.

де A,B — амплітуди коливань,a,b — частоти,δ — зсув фаз.

Вигляд кривої сильно залежить від співвідношення a/b. Коли співвідношення дорівнює 1, фігура Ліссажу має вигляд еліпсу, за певних умов вона має вигляд кола (A = B, δ = π/2 радіан) і лінії (δ = 0). Інший приклад фігури Ліссажу — парабола (a/b = 2, δ = π/2). Інші співвідношення продукують складніші фігури, які є замкненими за умови a/b — раціональне число. Припускається, що візуальна форма цих кривих є часто тривимірним вузлом, і насправді, проекції на площину багатьох вузлів, включаючи вузли Ліссажу, є фігурами Ліссажу.

Фігури Ліссажу, де a = 1, b = N (N — натуральне число) і

\delta=\frac{N-1}{N}\frac{\pi}{2}\

є поліномами Чебишева першого роду степеня N.

Приклади[ред.ред. код]

Нижче наведені приклади фігур Ліссажу з δ = π/2, непарного натурального числа a, парного натурального числа b, і |a − b| = 1.

Lissajous animation.gif

Створення[ред.ред. код]

До початку періоду сучасної комп'ютерної графіки фігури Ліссажу зазвичай генерувались з допомогою осцилографу (на малюнку). Дві синусоїди, зсунуті по фазі, подавались на входи осцилоскопа в X-Y режимі і фазове взаємовідношення між сигналами являє собою фігуру Ліссажу. Фігури Ліссажу також можуть бути згенеровані механічно з домогою гармонографу.

Застосування в техніці — порівняння частот[ред.ред. код]

Фігура Ліссажу на екрані осцилографа

Якщо подати на входи «X» і «Y» осцилографа сигнали близьких частот, то на екрані можна побачити фігури Ліссажу. Цей метод широко використовується для порівняння частот двох джерел сигналів і для підлаштовування одного джерела під частоту іншого. Коли частоти близькі, але не рівні одна одній, фігура на екрані обертається, причому період циклу обертання є величиною, оберненою різниці частот, наприклад, період обороту дорівнює 2с — різниця в частотах сигналів дорівнює 0,5 Гц. При рівності частот фігура застигає нерухомо, в будь-якій фазі, однак на практиці, за рахунок короткочасних нестабільностей сигналів, фігура на екрані осцилографа зазвичай трохи тремтить. Використовувати для порівняння можна не лише однакові частоти, але і ті, що знаходяться у кратному відношенні, наприклад, якщо зразкове джерело може видавати частоту тільки 5 МГц, а джерело, налаштовуєтья — 2,5 МГц … ..

В популярній культурі[ред.ред. код]

Див. також[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]

  1. «Логотип Лабораторії Лінкольна». MIT Lincoln Laboratory. 2008. Архів оригіналу за 2013-07-08. Процитовано 2010-07-16. 

Література[ред.ред. код]

  • Справочник по радиоэлектронным устройствам. В 2-х томах; Под ред. Д. П. Линде — М.: Энергия, 1978
  • Справочник по физике. Яворский Б. М., Детлаф А. А. — М.: Наука, 1981

Зовнішні посилання[ред.ред. код]