Зведена довжина фізичного маятника — довжина такого математичного маятника, період коливань якого збігається з періодом коливань даного фізичного маятника. Вона дорівнює
.
Диференціальне рівняння руху фізичного маятника[ред. | ред. код]
де — момент інерції відносно осі проходить через центр ваги;
— ефективний радіус інерції відносно осі, що проходить через центр ваги.
Динамічне рівняння довільного обертання твердого тіла:
де — сумарний момент сил, що діють на тіло відносно осі обертання.
де — момент сил, викликаний силою тяжіння;
— момент сил, викликаний силами тертя середовища.
Момент викликаний силою тяжіння залежить від кута відхилення тіла від положення рівноваги:
Якщо знехтувати опором середовища, диференціальне рівняння коливань фізичного маятника в полі сили тяжіння:
.
Якщо розділити обидві частини рівняння на і покласти то рівняння буде:
Таке рівняння аналогічне рівнянню коливань математичного маятника довжини . Величину називають зведеною довжиною фізичного маятника.
Центр гойдання фізичного маятника[ред. | ред. код]
Центр гойдання — точка, в якій треба зосередити всю масу фізичного маятника, щоб його період коливань не змінився.
Помістимо на промені, що проходить від точки підвісу через центр ваги, точку на відстані від точки підвісу. Ця точка і буде центром гойдання маятника.
Дійсно, якщо всю масу зосередити в центрі гойдання, то центр гойдання буде збігатися з центром ваги. Тоді момент інерції відносно осі підвісу дорівнюватиме , а момент сили тяжіння відносно тієї ж осі . При цьому рівняння руху не зміниться.
Період малих коливань фізичного маятника[ред. | ред. код]
Якщо — випадок малих максимальних кутових відхилень від рівноваги, то оскільки розклад синуса в ряд Маклорена і рівняння руху переходить у рівняння гармонійного осцилятора без тертя:
В іншому формулюванні: якщо амплітуда коливань мала, то корінь у знаменнику еліптичного інтеграла наближено дорівнює одиниці. Такий інтеграл легко береться, і виходить добре відома формула малих коливань:
Ця формула дає результати прийнятної точності (помилка менш 1 %) при кутах, що не перевищують 4°.
Наступний порядок наближення можна використовувати з прийнятною точністю (помилка менше 1 %) при кутах відхилення до 1 радіана (≈57°):