Фільтрація (випадкові процеси)

Фільтра́ція в теорії випадкових процесів - це неспадна множина σ-алгебр.

Визначення

Нехай задано ймовірнісний простір $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ і підмножину дійсної прямої $T \subset \mathbb{R}$. Множина σ-алгебр $\{\mathcal{F}_t\}_{t \in T}$ таке, що

$\mathcal{F}_s \subset \mathcal{F}_t \subset \mathcal{F},\quad s \le t,\; s,t \in T$,

називається фільтрацією ймовірнісного простору.

Природна фільтрація випадкового процесу

Нехай заданий випадковий процес $\{X_t\}_{t \in T}$, визначений на деякому ймовірнісному просторі. Визначимо

$\mathcal{F}^X_t = \sigma\{X_s \mid s \le t, \; s\in T\},\quad t \in T.$.

Тоді множина $\left\{\mathcal{F}^X_t\right\}_{t \in T}$ є фільтрацією і називається природною фільтрацією випадкового процесу $\{X_t\}$.

Див. також

• Марківський процес;
• Мартингал.

Література

• Daniel Revuz, Marc Yor: Continuous Martingales and Brownian motion. Springer-Verlag, New York 1999, ISBN 3-540-64325-7.
• A. N. Shiryayev: Probability. Springer-Verlag, New York 1984, ISBN 3-540-90898-6.