Фільтр (порядок)

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Два фільтри, позначені синім та зеленим кольором,
та ультрафільтр в який вони входять, позначено голубим.

Фільтр — в теорії порядку, це підмножина \ F частково впорядкованої множини (P, \le), яка задовольняє певним умовам. Також фільтри можна знайти в топології, де вони власне, і виникли.

Фільтр — поняття двоїсте до ідеалу.

Формальне визначення[ред.ред. код]

Підмножина F частково впорядкованої множини (P,≤) є фільтром, якщо виконуються такі умови:

  1. \forall x,y \in F: \exist z \in F:  \; (z \le x) \and (z \le y). (F є базою фільтру)
  2. \forall x \in F, y \in P: x \le y \Rightarrow y \in F (F є верхньою множиною)
  3. Фільтр є правильним, якщо він не дорівнює всій множині P. Часто це вважають частиною поняття фільтру.

Спочатку поняття фільтру виникло для решіток. У випадку решіток, вищенаведене означення еквівалентне наступному твердженню:

Підмножина F решітки (P,≤) є фільтром, тоді і тільки тоді, коли це верхня множина, замкнена щодо застосування операції інфімуму скінченну кількість разів.
Тобто, для будь-яких x, y з F, xy також належить F.

Поняття двоїсте до фільтру, тобто, те що ми отримаємо, замінивши для фільтру всі ≤ на обернені і ∧ на ∨, це — ідеал.

Найменьший фільтр, що містить елемент p називається головним фільтром породженим цим елементом. Формально \{x \in P: \; p \le x \}, позначається ~\uparrow p.

Простий фільтр — фільтр, доповненням якого є ідеал.

Максимальний фільтр чи ультрафільтр — фільтр, для якого не існує більшого фільтра.

Фільтри на множині[ред.ред. код]

Для довільної множини, її булеан є частково-впорядкованою множиною за включенням, таким чином можна вводити поняття фільтра та ідеала для множини.

База фільтра[ред.ред. код]

Нехай \mathfrak F - фільтр на множині X. Сімейство підмножин \mathfrak B\subset\mathfrak F называється базою (базисом) фільтра \mathfrak F, якщокожний елемент фільтра \mathfrak F містить деякий елемент бази \mathfrak B, тобто для кожного Y\in\mathfrak F існує B\in\mathfrak B таке, що B\subset Y. При цьому фільтр \mathfrak F співпадає з сімейством усіх можливих надмножин множин з \mathfrak B. Зокрема, фільтри, які мають спільну базу, співпадають. Кажуть також, що база \mathfrak B породжує фільтр \mathfrak F

Дві бази \mathfrak B та \mathfrak B' називаються еквівалентними, якщо будь-який елемент B\in\mathfrak B містить у собі деякий елемент B'\in\mathfrak B', і навпаки, будь-який елемент B'\in\mathfrak B' містить у собі деякий елемент B\in\mathfrak B

Еквівалентні бази породжують один і той самий фільтр. Серед усіх баз, еквівалентних даній базі \mathfrak B існує максимальна за включенням база, а саме, породжений цією базою фільтр \mathfrak F. Таким чином, між класами еквівалентних баз і фільтрами існує природня бієкція.

Порівняння фільтрів[ред.ред. код]

Нехай на множині X задані два фільтра \mathfrak F і \mathfrak F'. Кажуть, що фільтр \mathfrak F' мажорує фільтр \mathfrak F (\mathfrak F' сильніший \mathfrak F, \mathfrak F' тонший \mathfrak F), якщо \mathfrak F'\supset\mathfrak F. У цьому випадку також говорять, що фільтр \mathfrak F мажорується фільтром \mathfrak F' (\mathfrak F слабший \mathfrak F', \mathfrak F грубіший \mathfrak F').

Говорять, що база \mathfrak B' сильніше бази \mathfrak B, і записують \mathfrak B'\geqslant \mathfrak B, якщо кожний елемент B\in\mathfrak B містить у собі деякий елемент B'\in\mathfrak B'. База \mathfrak B' сильніша бази \mathfrak B тоді і тільки тоді, коли фільтр \mathfrak F', породжений базою \mathfrak B', сильніший фільтра \mathfrak F, породженого базою \mathfrak B.

Бази \mathfrak B та \mathfrak B' еквівалентні тоіді і тільки тоді, коли одночасно \mathfrak B'\geqslant \mathfrak B та \mathfrak B\geqslant \mathfrak B'
.

Фільтри у топологічних просторах[ред.ред. код]

Нехай (X,\mathcal T) -- топологічний простір і \mathfrak F --- фільтр на множині X. Точка a\in X називається границею фільтра \mathfrak F, якщо кожний окіл V(a) точки a надежить фільтру \mathfrak F. Позначення: \lim\mathfrak F=a. Для фільтра \mathfrak F, породженого базою \mathfrak B, рівність \lim\mathfrak F = a виконується тоді і тільки тоді, коли для кожного околу V(a) повністю вміщає деяку множину з \mathfrak B.

У гаусдорфовому топологічному просторі фільтр може мати не більше однії границі.

Точка a\in X називається граничною точкою (точкою дотику, частковою границею) фільтра \mathfrak F, якщо a належить замиканню кожної множини з \mathfrak F, тобто a\in\overline Y для всіх Y\in\mathfrak F. Рівносильно, для кожного околу V(a) точки a і для кожної Y\in\mathfrak F виконується V(a)\cap Y\neq\varnothing. Кожна гранична точка ультрафільтра є його границею.

В компактному топологічному просторі кожен фільтр має граничну точку, а кожен ультрафільтр має границю.

Дивись також[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]

  • Биркгоф Г.en (1984). Теория решёток. Переклад с англ. В. Н. Салий; Под ред. Л. А. Скорнякова. Москва: Наука. с. 566.  9400 экз.