Фільтр (порядок)

Два фільтри, позначені синім та зеленим кольором,
та ультрафільтр в який вони входять, позначено голубим.

Фільтр — в теорії порядку, це підмножина $\ F$ частково впорядкованої множини $(P, \le),$ яка задовольняє певним умовам. Також фільтри можна знайти в топології, де вони власне, і виникли.

Фільтр — поняття двоїсте до ідеалу.

Формальне визначення

Непорожня підмножина F частково впорядкованої множини (P,≤) є фільтром, якщо виконуються такі умови:

1. $\forall x,y \in F: \exist z \in F: \; (z \le x) \and (z \le y)$. (F є базою фільтру)
2. $\forall x \in F, y \in P: x \le y \Rightarrow y \in F$ (F є верхньою множиною)
3. Фільтр є правильним, якщо він не дорівнює всій множині P. Часто це вважають частиною поняття фільтру.

Спочатку поняття фільтру виникло для решіток. У випадку решіток, вищенаведене означення еквівалентне наступному твердженню:

Непорожня підмножина F решітки (P,≤) є фільтром, тоді і тільки тоді, коли це верхня множина, замкнена щодо застосування операції інфімуму скінченну кількість разів.

Тобто, для будь-яких x, y з F, x ∧ y також належить F.

Поняття двоїсте до фільтру, тобто, те що ми отримаємо, замінивши для фільтру всі ≤ на обернені і ∧ на ∨, це — ідеал.

Найменьший фільтр, що містить елемент p називається головним фільтром породженим цим елементом. Формально $\{x \in P: \; p \le x \},$ позначається $~\uparrow p.$

Простий фільтр — фільтр, доповненням якого є ідеал.

Максимальний фільтр чи ультрафільтр — фільтр, для якого не існує більшого фільтра.

Фільтри на множині

Для довільної множини, її булеан є частково-впорядкованою множиною за включенням, таким чином можна вводити поняття фільтра та ідеала для множини.

Дивись також

• Ідеал (порядок)
• Ультрафільтр

Джерела

• Биркгоф Г. (1984). Теория решёток. Москва: Наука. с. 568.