Характеристика Ейлера

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Ейлерова характеристика або характеристика Ейлера—Пуанкаре — характеристика топологічного простору. Ейлерова характеристика простору  X зазвичай позначається \chi(X).

Визначення[ред.ред. код]

где k_i означає число клітинок розмірности i.
Це визначення має сенс лише якщо всі числа Бетті скінченні і обнуляються для всіх достатньо великих індексів.
*Останнє визначення узагальнює попереднє і узагальнюється на інші гомології з довільними коефіцієнтами.

Властивості[ред.ред. код]

  • Ейлерова характеристика є гомотопічним інваріантом, тобто зберігається при гомотопічній еквівалентності топологічних просторів.
    • Зокрема, ейлерова характеристика є інваріант топологічний.

Ейлерова характеристика поліедрів[ред.ред. код]

  • Ейлерова характеристика двовимірних топологічних поліедрів може бути порахована за формулою: \chi=\Gamma-\hbox{P}+\hbox{B} де Г, Р і В число граней, ребер і вершин відповідно. Зокрема, для будь якого многогранника справедлива формула Ейлера:
    \Gamma-\hbox{P}+\hbox{B}=\chi(S^2)=2.
Наприклад, характеристика Ейлера для куба дорівнює 6 — 12 + 8 = 2, а для трикутної піраміди 4 — 6 + 4 = 2.

Теорема Ґауса—Бонне[ред.ред. код]

Для компактного двовимірного орієнтованого риманового многовиду (поверхні) S без границі існує Формула Ґауса-Бонне, що зв'язує ейлерову характеристику \chi(S) з кривиною Ґауса  K многовиду:

\int\limits_S K\;d\sigma = 2\pi\chi(S),

де d\sigma — елемент площі поверхні S.\

Існує узагальнення формули Ґауса-Бонне для двовимірного многовиду з краєм.

  • Існує узагальнення формули Ґауса — Бонне на парновимірні ріманові многовиди, яке відоме як Теорема Ґауса — Бонне — Чернаабо Узагальнена формула Ґауса-Бонне.
  • Існує також дискретний аналог теореми Ґауса — Бонне, який говорить, що характеристика Ейлера дорівнює сумі дефектів поліедра, поділеній на 2\pi.[1]
  • Існують комбінаторні аналоги формули Ґаусса — Бонне.

Орієнтовані і неорієнтовані поверхні[ред.ред. код]

  • Ейлерова характеристика для орієнтованої сфери з ручками виражаєтся формулою: \chi(X)=2-2g, де g — число ручок, для неорієнтованої поверхні формула виглядає, як \chi(X)=2-g.

Величина характеристики Ейлера[ред.ред. код]

Назва Вид Ейлерова характеристика
Відрізок Complete graph K2.svg 1
Коло Cirklo.svg 0
Круг Disc Plain grey.svg 1
Сфера Sphere-wireframe.png 2
Тор
(добуток двох кіл)
Torus illustration.png 0
Подвійний тор Double torus illustration.png −2
Потрійний тор Triple torus illustration.png −4
Проективна поверхня Steiners Roman.png 1
Стрічка Мебіуса MobiusStrip-01.png 0
Пляшка Клейна KleinBottle-01.png 0
Дві сфери (незв'язані) Sphere-wireframe.pngSphere-wireframe.png 2 + 2 = 4
Три сфери Sphere-wireframe.pngSphere-wireframe.pngSphere-wireframe.png 2 + 2 + 2 = 6

Історія[ред.ред. код]

У 1752 році Ейлер [2] опублікував формулу, що пов'язує між собою кількість граней тривимірного багатогранника. В оригінальній роботі формула приводиться у вигляді

~S+H=A+2,

де S — кількість вершин, Н — кількість граней, A — кількість ребер.

Раніше ця формула зустрічається в рукописах Рене Декарта, опублікованих Лейбніцем у 1760 році [3].

У 1899 році Анрі Пуанкаре [4] узагальнив цю формулу на випадок N-вимірного многотогранника:

\sum_{i=0}^{N-1}{(-1)}^i A_i =1+{(-1)}^{N-1},

де A_i — кількість i-вимірних граней N-вимірного многогранника.

\sum_{i=0}^{N}{(-1)}^i A_i =1.

Примітки[ред.ред. код]

  1. [1]
  2. Л. Ейлер Demonstratio nonnullarum insignium proprietatum, quibus Соліда hedris planis inclusa Сюнт praedita. Novi Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae 4:140-160, 1758. Представлено Санкт-Петербурзькій Академії 6 квітня 1752 року. Opera Omnia 1 (26): 94-108.
  3. Емелічев В.А., Ковальов М.М., Кравцов М.К. Многогранники, графи, оптимізація (комбінаторна теорія багатогранників). — М.: 1981. — С. 344.
  4. H. Poincaré, Sur la généralisation d'un théorème d'Euler relatif aux polyèdres, Compt. Rend. Acad. Sci., 117 (1893), 144—145; Oeuvres, Vol. XI, 6-7.

Література[ред.ред. код]

  • Долбилин Н. Три теоремы о выпуклых многогранниках // Квант. — 2001. — № 5. — С. 7-12.
  • Лакатос И. Доказательства и опровержения. Как доказываются теоремы / Пер. И. Н. Веселовского. — М.: Наука, 1967.
  • Шашкин Ю. А. Эйлерова характеристика. — М.: Наука, 1984. — Т. 58. — (Популярные лекции по математике).